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C++ 算法篇穷举（枚举）

花匠小妙招
2024-12-13 12:17

【问题分析】

首先，预处理每个数字（0~9）需要用几根火柴棒，存储在数组 f 中。然后，穷举 a 和 b，算出它们的和 c，再判断下列约束条件是否成立：f （a）+ f （b）+ f （c）= n-4。现在的问题是：a 和 b 的范围有多大？可以发现尽量用数字 1 拼成的数比较大，分析可知最多不会超过 1111。程序实现时，分别用三个循环语句预处理好所有两位数、三位数、四位数构成所需要的火柴棒数量。

例3、比例简化

【问题描述】

在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与否的民意调查以及结果。例如，对某观点表示支持的有 1498 人，反对的有 902 人，那么其比例可以简单地记为1498∶902。

因该比例的数值太大，难以一眼看出它们的关系。若把比例记为 5∶3，虽然与真实结果有一定的误差，但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得比较直观。

现给出支持人数 A 和反对人数 B，以及一个上限 L，请将 A 比 B 化简为 A′ 比 B′，要求在 A′和 B′ 均不大于 L，且 A′ 和 B′ 互质（两个整数的最大公约数为 1）的前提下，A′/B′≥ A/B 且 A′/B′-A/B 的值尽可能小。

【输入格式】

一行三个整数 A，B，L，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示支持人数、反对人数以及上限。

【输出格式】

一行两个整数 A′ 和 B′，中间用一个空格隔开，表示化简后的比例。

【输入样例】

1498 902 10

【输出样例】

5 3

【数据规模】

对于 100% 的数据满足：1≤A≤10 6 ，1≤B≤10 6 ，1≤L≤100，A/B≤L。

【问题分析】

首先，答案为一个分数，而且分子，分母都小于或等于 L。所以，可以直接穷举分子 i （对应题目中的 A′）和分母 j （对应题目中的 B′）。结合题目的具体要求分析：

（1） i，j≤L，这个可以作为穷举的范围。

（2） i/j≥A/B，且 i/j-A/B 的值尽量小。前者只要转换成 i*B≥j*A，后者可以“打擂台”实现。

假设用K1/K2表示最后的答案，初值设置为1000000/1，min=abs （k1*B-k2*A）。如果abs （i/j-A/B）< abs（K1/K2-A/B），即如果 abs（i*B-j*A）< abs（k1*B-k2*A），则更新 K1、K2 和 min。

（3）答案的分子、分母要互质，这个只要从小到大穷举 i、从大到小穷举 j，第一个符合条件的答案肯定就是最简分数。假设 L=10，如果先穷举到 1/5 得到一个答案，后面的 2/10 是不会更新答案的。

例4、奶牛碑文

【问题描述】

小伟暑假期间到大草原旅游，在一块石头上发现了一些有趣的碑文。碑文似乎是一个神秘古老的语言，只包括三个大写字母 C、O 和 W。尽管小伟看不懂，但是令他高兴的是，C、O、W的顺序形式构成了一句他最喜欢的奶牛单词“COW”。现在，他想知道有多少次 COW 出现在文本中。

如果 COW 内穿插了其他字符，只要 COW 字符出现在正确的顺序，小伟也不介意。甚至，他也不介意出现不同的 COW 共享一些字母。例如，CWOW 出现了 1 次 COW，CCOW 算出现了2 次 COW，CCOOWW 算出现了 8 次 COW。

【输入格式】

第 1 行为 1 个整数 N。

第 2 行为 N 个字符的字符串，每个字符是一个 C、O 或 W。

【输出格式】

输出 COW 作为输入字符串的字串出现的次数（不一定是连续的）。

提示：答案会很大，建议用 64 位整数（long long）。

【输入样例】

COOWWW

【输出样例】

【数据规模】

对于 50% 的数据满足：N≤60。

对于 100% 的数据满足：N≤105 。

【问题分析】

因为只有 3 个字母，所以可以穷举字符串中的每一个“O”，假设位置 i，然后分别计算其左边“C” 的个数 l[i] 和右边“W” 的个数 r[i]，再利用乘法原理进行计数 l[i]*r[i]，每次把答案累加到 ans 中。

二、穷举算法的优化

穷举算法的特点是算法设计、实现都相对简单，但时间复杂度和空间复杂度往往较大。因此，用穷举算法解决问题时，往往需要尽量优化算法，从而减少穷举的次数，提高穷举的效率。

穷举算法优化的思路主要有结合约束条件，通过数学推导，减少穷举的范围和数量；通过预处理（如部分和、是否素数等），以空间换时间，避免在穷举过程中重复计算或判断等。

例5、三角形个数

【问题描述】

输入一根木棒的长度 n，1≤n≤10000，将该木棒分成三段，每段的长度为正整数，输出由该三段小木棒组成的不一样的三角形个数。

【输入样例】

【输出样例】

【样例说明】

两个能组成的三角形边长分别为 2、4、4 和 3、3、4。

【问题分析】

穷举三角形三条边长（假设为 a、b、c）的可能值，判断能否构成一个三角形，若能则计数，最后输出计数器的值。为了保证组成的三角形不重复，只要在穷举时设定 1≤a≤b≤c≤n-2。优化思想很简单但很重要，“能算不举”，穷举两条边，根据木棒长度直接计算出第三条边长。

例6、阿姆斯特朗数

【问题描述】

编程找出所有的三位数到七位数中的阿姆斯特朗数。阿姆斯特朗数也叫水仙花数，它的定义如下：若一个 n 位自然数的各位数字的 n 次方之和等于它本身，则称这个自然数为阿姆斯特朗数。例如，153（153=1×1×1+3×3×3 +5×5×5）是一个三位的阿姆斯特朗数，8208 则是一个四位的阿姆斯特朗数。

【问题分析】

由于阿姆斯特朗数是没有规律的，只能采用穷举法一一验证 100~9999999 内的所有数是否是阿姆斯特朗数，若是，则打印之。但是，如果对任意一个数 K，都去求它的各位的若干次方，再求和判断是否等于K，效率比较差。注意到，每个位只可能是0~9，而且只会算到3~7次方。所以，为了使得程序尽快运行出正确结果，采用“以空间换时间”的策略，使用一个数组 p 预处理出所有数字的各次幂之值，p[i,j]表示 i 的 j 次方。另外，为了避免每次都对一个数进行逐位分解操作，直接用数组 a[8]存储一个数的每一位，穷举 100~9999999。

例7、金币

【问题描述】

国王将金币作为工资，发放给忠诚的骑士。第一天，骑士收到一枚金币；之后两天（第二天和第三天）里，每天收到两枚金币；之后三天（第四、五、六天）里，每天收到三枚金币；之后四天（第七、八、九、十天）里，每天收到四枚金币……这种工资发放模式会一直这样延续下去。当连续 n天每天收到 n 枚金币后，骑士会在之后的连续 n+1 天里，每天收到 n+1 枚金币（n 为正整数）。

请编程确定从第一天开始的给定天数内，骑士一共获得了多少金币。

【输入格式】

输入包含至少一行，但不多于 1000 行。

除最后一行外，输入的每行是一组输入数据，包含一个正整数 n，表示天数。

输入的最后一行为 0，表示输入结束。

【输出格式】

对每个数据输出一行一个整数，表示该数据对应总金币数。

【输入样例】

100

10000

1000

【数据规模】

对于 60% 的数据满足：n≤103 ；

对于 80% 的数据满足：n≤106 ；

对于 100% 的数据满足：n≤1012 。

【问题分析】

每次穷举每天获得的金币数，或者将答案保存在数组中直接输出，可以获得部分分。下面利用数学推导进行优化。

因为：1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 = k ×（k+1）×（2k+1）/ 6，假设前 n 个数为 1，2，2，3，3，3，…，k，k，k，k，如何求 k 呢？根据 1+2+3+…+k = n，即 k 2 +k-2n = 0，把 k 看成未知数，解方程可求出 k =（-1 + sqrt （1+8n））/ 2 = sqrt （2n+0.25）- 0.5，另一个负数解不合法舍去。

三、二进制穷举思想

对于二进制数 00000，00001，00010，…，11111，它们是严格递增有序的，如何生成类似的二进制数字序列，就是“二进制穷举”思想，其应用非常广泛。“二进制穷举”的实现代码如下:

#include<cstdio>

using namespace std;

int main(){

int n;

int b[100];

scanf( “ %d ” ,&n);

for(int i = 0; i <= n; i++) b[i] = 0;

while(b[0] == 0){

for(int i = 1; i <= n; i++) printf( “ %d ” ,b[i]);

printf( “ n ” );

int j = n;

while(b[j] == 1) j--;

b[j]++;

for(int i = j + 1; i <= n; i++) b[i] = 0;

}

return 0;

}

例8、0-1 背包问题

【问题描述】

有 n 件物品，每件物品有一个重量和一个价值，分别记为 W1 ，W2 ，…，Wn 和 C1 ，C2 ，…，Cn 。现在有一个背包，其容量为 WK，要从 n 件物品种任取若干件，要求：

（1）重量之和小于或等于 WK。

（2）价值之和最大。

【输入格式】

第 1 行 2 个整数，表示 n和WK，1≤n≤20，1≤WK≤106 。

第 2 行 n 个整数，表示每一个物品的重量，1≤Wi ≤104 。

第 3 行 n 个整数，表示每一个物品的价值，1≤Ci ≤108 。

【输出格式】

一行一个数，表示符合背包容量的最大价值。

【输入样例】

8 200

79 58 86 11 28 62 15 68

83 14 54 79 72 52 48 62

【输出样例】

334

【问题分析】

背包问题有很多类型，本题是最简单的一种模型“0-1 背包”，即每件物品只有不取和取两种情况，对应着二进制中的 0 和 1。0-1 背包有多种解决算法，具体在第 13 课详细讲解。这里采用二进制穷举思想，从 000…00 穷举到 111…11，即定义一个数组 b，元素 b[i] = 0 或者 1，表示第 i 件物品不取或者取，每次判断背包能否装的下，同时对于价值打擂台取最大值。

例9、组合数的生成

【问题描述】

从 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字中任取 4 个数的组合有1 2 3 4、1 2 3 5、1 2 3 6、1 2 4 5、1 2 4 6、1 2 5 6、1 3 4 5、1 3 4 6、1 3 5 6、1 4 5 6、2 3 4 5、2 3 4 6、2 3 5 6、2 4 5 6、3 4 5 6，共 15 种。若把它们看成 4 位数，发现是递增的。

编程，输入 n 和 r，1≤r≤n≤20，按照以上顺序，输出从 n 个数字（1~n）中任取 r 个数的所有组合。

【输入样例】

3 2

【输出样例】

1 2

1 3

2 3

【问题分析】

观察第一个数到最后一个数的变化规律，可以看出最后一位先变化（加 1），变到 n 就要“进位”到上一位；对于倒数第二位，变化到 n-1 就要产生“进位”……每次“进位”后，本位及以后的所有位都要重新置成一个递增的序列。这个算法的思路就是二进制穷举思想，不过不是固定的“n 进制”。