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仙人掌形态和数学雕塑

花匠小妙招
2024-12-18 10:11

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文描述了仙人掌的形态特征，这些特征与植物的螺旋、分形和密铺有关。经过更深入地研究可以发现，它们表现出生长异常，即冠状，其中超线性生长创造了与双曲几何和分形曲线相关的结构。还展示了五个最近的抽象粘土雕塑，灵感来自于冠状仙人掌的形式，并描述了用于建造每一个的方法。

仙人掌形态学与数学

仙人掌的形态表现出分形几何和混沌、密铺、多面体以及植物螺旋（斐波那契数）。此外，冠状仙人掌还表现出超线性生长和双曲几何学。要了解数学在这些形态中的作用，了解一些仙人掌形态学的基本知识会有所帮助。有关仙人掌形态学的更多详情，请参阅参考文献1。

仙人掌的整体形态多种多样，如图1所示。其中包括圆球形（如桶状仙人掌和枕状仙人掌）、柱状（如美洲虎仙人掌和风琴管仙人掌）、分枝【具有圆柱状（如绒毛仙人掌）或桨叶状（刺梨】。许多仙人掌都有分枝，但不同种类的分枝程度差异很大[1]。

图1：a)球形，b)柱状，c)圆柱形分支，d)桨状分支形态的仙人掌。

仙人掌的树枝状特征被称为茎，茎上通常有棱纹，当水从根部吸收时，茎会膨胀。在某些物种中，茎被称为结节的突起所覆盖(例如，图1(c))。仙人掌的刺是高度修饰的叶子，由一种高度缩小的树枝产生，形状大致为半球形(图2)。

图 2：萨瓜罗仙人掌和巴哈风琴管仙人掌的窠和刺。

在许多仙人掌物种中，有两种视觉上有趣的生长异常现象，即嵴状生长和冠状生长 [2]。这些情况是基因缺陷和生长前端（顶端分生组织）受损共同作用的结果。它们会从根本上改变植物的形态，通常会形成奇异的形态，尤其是在冠状标本的情况下，具有相当的雕塑美感（图 3）。在冠状生长中，一点的生长被沿着一条线的生长所取代，而在畸形生长中，生长发生在许多不协调的点上，通常会导致肿块和不对称的形态 [2]。在正常的柱状仙人掌中，随着植株变大，偶尔会出现额外的肋。图 3（b）就是一个例子，其外观类似于晶格中的错位[3]。在冠状形态中，有许多这样的“错位”，以适应超线性生长。

图3：a)冠状仙人掌；b)对“错位”的特写；c)顶部区域的细节。

分形结构在仙人掌分枝和其他分枝植物中是明显的。这种分支是混乱的，在植物的发育过程中有微小的差异，可能包括环境因素，导致基于相同的基本遗传指令的相当多的形式。和其他植物一样，仙人掌的根部也有分枝。

在某些种类的仙人掌中，植物的表面基本上被窠覆盖。对于圆柱截面，这些图案可以被认为是包裹在圆柱体周围的平面镶嵌。在仙人掌中，平行四边形的边对边镶嵌是对观察到的图案的一种适当的近似，如图4(a)所示。茎的圆形末端可以被看作是球体或多面体的镶嵌图案(图4(b))。此外，通过在球体上均匀分布点的问题，刺在窠上的分布与多面体有关(图2)。然而，在仙人掌的情况下，通常有一个大的中心刺，在边缘附近有较小的刺。

图4：窠镶嵌在a)仙人掌的圆柱形区域和b)枕形仙人掌的圆形末端。

仙人掌中窠的分布一般呈斐波那契螺旋状。图 5（a）是一个例子，在一张枕状仙人掌的照片上画出了连接窠的螺旋线。在这种情况下，有8条螺旋线沿一个方向旋转，13条沿另一个方向旋转。图 5(b) 显示了具有相同数字的未烧制粘土雕塑，使用定制的粘土工具在光滑的空心球形粘土上刻画出弧形凹槽。这与菠萝或松果装饰雕塑元素（如顶饰，通常由木材制成）有些相似。它们通常呈现镜面对称，每个方向的螺旋数量相同，在这种情况下，它们并不能准确反映自然界中的斐波纳契螺旋[4]。

图5: a)亚利桑那州鱼钩仙人掌的叶状螺旋。b)使用相同斐波纳契数8和13 (2022，未烧制)的泥塑。

冠状仙人掌

不同种类的仙人掌由于冠状花序而引起的形态变化差异很大。虽然术语“指数增长”通常用于由超线性增长引起的波浪表面，但这种增长不一定是指数增长。因此，这里使用“超线性增长”。冠状仙人掌沿着线形前缘生长，可以形成扇形，波浪形，在某些情况下，严重折叠的形式让人联想到分形曲线。桶状和针垫状的球形仙人掌呈密集折叠的外形，类似于脑珊瑚[5]或双曲钩针[6]，如图6所示。在这些植物中，折叠结构的密度是如此之高，以至于很难看到内部发生了什么，特别是与之相应的高密度的刺遮蔽了人们的视线。柱状仙人掌，如仙人掌和蓝桃金娘，以及枝状仙人掌，如跳胆，通常表现出局部扇形。在柱状仙人掌中，扇形形式通过引入许多额外的肋骨或“脱位”而促进，如图3(c)和7(a)所示。在有明显结节的胆囊中，扇形与额外的结节行相适应(图8)。

同样值得注意的是“兔耳朵”刺梨的扭曲形状(图1(d)中的规则形状)。如图7(b)所示，这些植物的桨叶由于超线性生长而起伏。这种植物既被描述为冠状植物，也被描述为怪物[2,7]，但似乎没有表现出沿线生长，这似乎是冠状植物的一个定义特征。

图6：a)冠状金色桶形仙人掌b)有大致向外可见的生长前沿。

图7：a)大型有羽冠的蓝色桃金娘仙人掌的扇形形态，展示了额外的肋骨是如何适应超线性生长的。b)怪物“兔子耳朵”仙人球仙人掌。两张照片都是在亚利桑那州凤凰城的沙漠植物园拍摄的。

正常仙人掌的生长发生在树枝末端的单个点上，而冠状仙人掌的生长是沿着线发生的。这扰乱了通常观察到的斐波那契数列螺旋模式。在图8中，描绘了冠状仙人掌嵴臂的形态。在一定程度上可以追踪有冠臂中弯曲的结节行(尽管断裂和无序区域是不可避免的)，但在生长前沿附近的分布太混乱了，以至于无法说明行数。从一个点来看，这种无序也可以在斐波那契数列螺旋增长的中心附近看到，但通常来说，在离中心稍远的地方计数螺旋是很简单的。

图8：a)羽冠跳蛛的扇形形态，b)生长曲线。

受到冠状仙人掌启发的雕塑作品

冠状仙人掌是最近几件陶瓷雕塑的灵感来源。这些作品都是抽象作品，其形式以仙人掌的冠状花序为基础，而不是逼真的仙人掌形象。这些作品没有试图塑造逼真的窠，也没有加入刺。有些作品甚至连整体形态都与真实的仙人掌没有密切联系。

带有脊状结构和“错位”的双曲面，如上图3和图 7(a)，是最近两件作品的灵感来源。在第一件名为 "Groovy Hyperbolic Form "的作品中，我首先制作了一个双曲面，然后用专门制作的粘土工具将脊压入其中（图 9）。压脊的过程相对容易，但制作出来的作品并没有完全体现出仙人掌的雕塑感。第二件作品名为“凤冠仙人掌形态”，我首先制作了一个三叶表面，每个叶片都有一些双曲线特征。如图10(a)所示，我剪下横截面为三角形的木条，然后将它们逐一粘贴在一起。这是一个相对费力的过程，在桨叶的边缘，两边的条带以拉链的方式相接，需要相当小心。图 10b 所示的雕塑结果更好地捕捉到了这些植物的复杂结构。

在冠状仙人掌中，观察到生长沿着一条线进行。虽然有许多关于冠形植物生长的文章(如参考文献8)，但我不知道任何数学模型。相比之下，从一个点开始的叶序已经被模拟了一个多世纪[9]。由于植物是由细胞组成的，一条连续的线显然不是一个准确的模型。因此，一个合理假设是，增长是从一系列密集的点开始的。这些可以很容易地用叶序螺旋模型。在图11(a)中，三个这样的螺旋沿着一条线隔开。试图以图形方式延伸旋臂，使它们相互作用，形成类似于图8所示的一系列曲线。注意，额外的行(错位)从中心向外引入几行，以获得更均匀的间距。线之间产生的枕状区域，对应于仙人掌中的小窝，是四边形的(忽略轻微的弯曲)，除了成对生长中心中间的四个位置和从连接中心的线的任一方向偏移。在这四个地方，仍有较大的区域，由六条曲线围成。图11(b)显示了厚桨状粘土形式的实施，其中使用定制的手工粘土和木制工具形成凹槽。

图9：灵感来自冠状的仙人掌的陶瓷雕塑a)在双曲粘土表面制作的凹槽细节；b)成品，“绝妙的双曲形式”(2021)。

图10：陶瓷雕塑的灵感来自冠状蓝色桃金娘仙人掌:a)建造方法，用三角形的条附在桨状的形式上；b)成品，“冠状仙人掌形状”(2021)。

球状仙人掌(如图6)的冠顶与柱状仙人掌的冠顶截然不同，其表面结构与脑珊瑚相似。隐藏底层结构的密集表面特征与空间填充曲线有关。受这些形式启发的泥塑，具有超线性生长和大致半球形的外壳，如图12所示。这些曲线并不是事先计划好的，而是通过捏一个厚的环状粘土块，有意识地避免规则的结构而创造出来的。我以前展示过类似的雕塑，它们有精心设计的分形曲线结构[10，11]。

创建一个如图12所示的雕塑依赖于能够收缩和塑造表面，以建立超线性增长，而不允许如图6所示的密集堆积。结果，这些特征变得狭窄，创造了一个与冠状球状仙人掌截然不同的外观。还要注意，图12的脊都是一条连续的线。虽然单个完整的生长前沿似乎有可能在有冠的球状仙人掌中形成，但在图6中映入眼帘的是一组虚线。断裂是由于生长前沿在植物的整个外壳中折叠得太深而不可见。

为了更好地捕捉这种外观，我在一个大致呈半球形的底座表面上涂上厚厚的粘土条，制作了另一个雕塑(图13(a))。内部结构显然与冠仙人掌或脑珊瑚不相似，但可见部分更忠实地再现了它。虽然最终的作品，如图13(b)所示，在整体形式上有点类似于冠状球状仙人掌，但缺乏脊和刺使它无法联想到仙人掌。取而代之的是光滑的管状生物实体，如蠕虫或肠道。

图11：三组相互作用的叶序螺旋线a)纸上设计，b)泥塑(2022，未烧制)。

图12：受有冠球状仙人掌启发的泥塑(2022，未烧制)a)建造方法，基于捏一个厚的粘土盘；b)完全构建的部件。

图13：受冠状球状仙人掌启发的泥塑(2022，未烧制):a)建造方法，用泥带固定在半球形底座上；b)完全构建的部件。

总结和结论

我描述了仙人掌结构中的数学特征，并仔细观察了表现出称为冠状的生长异常的植物。叶序螺旋、分形结构和双曲线特征都在这些植物中起作用。还展出了五件受冠状仙人掌造型启发的泥塑作品。这项工作可以通过雕刻更复杂的形式来扩展，更好地捕捉图7a中仙人掌展示的戏剧或图6中仙人掌的复杂性。也可以开发由点生长源线产生的生长特征的更详细的数学模型。本文中所有的照片都是我拍摄的，所有的植物都在我亚利桑那州的院子里，除非另有说明。

参考文献

[1] Wikipedia. “Cactus.” https://en.wikipedia.org/wiki/Cactus.

[2] G. Stein. “Dave’s Garden – Cristate and Monster Succulents.” 2011.

https://davesgarden.com/guides/articles/view/3448.

[3] Wikipedia. “Crystallographic Defect.”

https://en.wikipedia.org/wiki/Crystallographic_defect#Line_defects.

[4] Google image search using the search string “pineapple pinecone finial”.

[5] Wikipedia. “Brain coral.” https://en.wikipedia.org/wiki/Brain_coral.

[6] D. Taimina. Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes. CRC Press, 2019.

[7] Llife Encyclopedia of Living Forms. “Opuntia microdasys f. monstruosa hort.”

http://www.llifle.com/Encyclopedia/CACTI/Family/Cactaceae/19885/Opuntia_microdasys_f._monstruosa.

[8] N.H. Boke and R.G. Ross. “Fasciation and Dichotomous Branching in Echinocereus

(Cactaceae).” Amer. J. Botany, Vol. 65, No. 5, 1978, pp. 522–530.

[9] D.W. Thompson. On Growth and Form. Cambridge University Press, 1917.

[10] R.W. Fathauer. “Sculptural Forms Based on Radially-developing Fractal Curves.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, Canada, 2017, pp. 25–32.

https://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-25.html.

[11] R. Fathauer, “Robert Fathauer – Art Inspired by Mathematics and Nature.”

http://robertfathauer.com/.

[12] R.W. Fathauer, Crested Cactuses and Mathematical Sculpture

青山不改，绿水长流，在下告退。

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