生存分析方法详解
接上篇文章生存分析（1），本文将进一步介绍生存分析中有关生存率的具体算法及其应用
Kaplan-Meier法（K-M法、乘积极限法）Kaplan-Meier法由Kaplan和Meier于1958年提出，直接用概率乘法定理估计生存率，故称乘积极限法（product-limit method），是一种非参数法。
a. 将样本生存时间T从小到大排列成如表第1栏。若遇到非删失值和删失值相同时，非截删失排在前面。
b. 列出与T相应的死亡人数d，如表第2栏
c. 列出期初病例数n,如表第3栏，即生存期为某时间时尚存活的病例数
d. 计算活过各时点的生存率P（T>t），计算公式为
P(T>t)=∏p=∏n−dn
2.标准误计算均数的标准误
为了表示均数的抽样误差大小如何，用的一种指标称为均数的标准误。我们以样本均数为变量，求出它们的标准差即可表示其变异程度，所以将样本均数这“标准差”定名为均数的标准误，简称标准误，以区别于通常所说的标准差。标准差表示个体值的散布情形，而标准误则说明样本均数的参差情况，两者不能混淆。
（具体可参考这里的介绍）
对于K-M法，标准误的计算方法有两种：
<1>Sp(T>t)=P(T>t)√∑d(n−d)n
<1>Sp(T>t)=P(T>t)√1−P(t>t)n−d
例数较多时，两法计算结果相同，但例数逐渐减少，法1的结果偏小，法二的结果偏大。
3.生存率的可信区间利用正态近似原理，估计总体生存率的可信区间,如95%置信度
可信区间=P(T>t)±1.96Sp(T>t)
上表中存活时间大于30天，生存率的95%可信区间为
P(T>30)±1.96×0.1107=(0.4646,0.8486)
4.单因素分析（log-rank test）对数秩检验（log-rank test）
属于非参数检验，用于比较两组或多组生存曲线或生存时间是否相同
检验统计量为卡方 χ2
自由度=组数-1
χ2=∑(A−T)2T
其中A为观察死亡数，T为理论死亡数。当有T<5时，用下式进行校正
χ2=∑(|A−T|−0.5)2T
计算完卡方值，查表得到P值，可得到推断结论
具体而言，首先将数据按如下形式组织：
将A、B两组的生存天数混在一起从小到大排序放在第二列，第一列是对应的组别，其他按表中给的填入
如此便可以得到A、B两组各自的合计理论死亡数，和实际死亡数（注意删失数据不参与计算），分别带入公式计算卡方即可
K-M方法提供三种假设检验分别是
Log-rank检验、Breslow检验和Tarone Ware检验
三者都是构造卡方检验量，具体比较如下：
更为具体的内容可参考这儿
当数据量较小（n<=50）且不含删失数据时，可以选择Wilcoxon 秩和检验，检验效果更好。
Wilcoxon 秩和检验
核心思想：如果两个样本来自相同的整体，那么秩将大约均匀的分布在两个样本中（秩：将样本从小到大排序，排名即为秩）。否则，则有一个样本获得较小的秩和，另一个获得较大的秩和。
计算：
设两个独立样本为：第一个样本x的样本容量为n1，第二个样本y的样本容量为n2，在容量为n1+n2的混合样本（样本x、y之和）中，x样本的秩和为Wx，y样本的秩和为Wy，且有
Wx+Wy=1+2+⋯+n=n(n+1)2
我们定义
W1=Wx−n1(n1+1)2=x统一秩和−x原秩和
W2=Wy−n2(n2+1)2=y统一秩和−y原秩和
可以知道样本x在混合之后的秩和最小也是原秩和，即
min(Wx)=n1(n1+1)2
对样本y同理，即
min(Wy)=n2(n2+1)2
根据Wx和Wy的关系可知，最大秩和为
max(Wx)=n(n+1)2−n2(n2+1)2
max(Wy)=n(n+1)2−n1(n1+1)2
因此W1和W2的取值范围均为：
[0,n(n+1)2−n1(n1+1)2−n2(n2+1)2]=[0,n1n2]
接下来我们进行假设检验。
假设： x，y样本来自相同总体
当原假设为真时，所有的xi和yi相当于从同一总体中抽得的独立随机样本，xi和yi构成可分辨的排列情况，可看成一排n个球随机地指定n1个为x球另n2个为y球，共有Cn1n种可能，而且它们是等可能的。基于这样分析，在原假设为真的条件下不难求出W1和W2的概率分布，显然它们的分布还是相同的，这个分布称为样本大小为n1和n2的Mann-Whitney-Wilcoxon分布
一个比较实际的方法是，对于每个样本数大于等于8的大样本来说，我们可以采用标准正态分布Z来近似检验。
因为W1的中心点为n1n22，所以Wx的中心点为
μ=n1n22+n1(n1+1)2=n1(n1+n2+1)2
W_x的方差 σ2 从数学上可推导出
σ2=n1n2(n1+n2+1)12
如果样本中存在结，将影响公式中的方差（结：即相同的数据，此时秩会被平分）
按结值调整方差的公式为：
σ2=n1n2(n1+n2+1)12−n1n2(∑(τ3j−τj)12(n1+n2)(n1+n2−1)
其中 τj 为第 j 个结的个数。结值的存在将使原方差变小，这是一个显然正确的事实。标准化后Wx为
z=Wx−μ±0.5σ=Wx−n1(n1+n2+1)2±0.5√n1n2(n1+n2+1)12−n1n2∑(τ3j−τ)12(n1+n2)(n1+n2−1)∼N(0,1)
其中0.5是为了对离散变量进行连续性修正，对于 Wx−μ>0 减0.5修正，反之加0.5修正。
算例
x组：11 15 10 18 11 20 24 22 25
y组：13 14 10 8 16 9 17 21
将二者统一如下：
可以看出n1=9，n2=8，Wx=96.5，Wy=56.5.
H0:两个样本的分布是相同的。标准分布z值的计算结果为：
z=96.5−9(9+8+1)2−0.5√9×8(9+8+1)12−9×8(8−2+8−2)12(9+8)(9+9−1)=1.44515
如果设定显著水平 α=0.05 ，我们知道标准正态分布在0.05显著水平时，上临界值为1.645，下下临界值为-1.645，由1.445<1.645，所以不能拒绝原假设。
当然你也可以用第二个样本的秩和 Wy 来计算标准正态分布，此时要注意公式中的 n1 和 n2 发生对换。
生存资料按如下格式准备
第一列为人为时间分组
第二至第四列按列名填入
第五栏校正人数，按公式N=L−W2
期内生存概率即条件生存概率，死亡概率同理计算，但是分母改为校准人数N
生存率同样使用乘法定理计算即可
标准误按如下公式计算
Sp(T>n)=p(T>n)√∑qpN
3.生存率可信区间同K-M法
K-M法与寿命表法比较1.格式与精确度
K-M法使用患者实际寿命作为分布区间，相对更精确
寿命表法采用人为规定时间段作为分布区间，范围扩大精确度有所下降
2.适用范围
K-M法更适合于样本量较少的数据
寿命表法更适合于样本量较大的数据
（不过，考虑到现在计算能力的强大，一般程度的数据量并不会对计算速度有太大影响）
3.关注点不同
K-M法关注每一个时点的生存率，重视对生存率规律的细致把握，可以利用K-M的结果去研究影响生存率变化（如曲线的突变点）的影响因素。
寿命表法则更重视对生存规律的总体把握（如各年生存率的情况）。
至此，有关生存分析的非参数研究方法K-M与寿命表法就介绍完了。接下来的一篇文章，将介绍含参数的研究方法—Cox比例风险回归模型。
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