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第四章数学分支介绍

花匠小妙招
2025-04-30 00:33

1、数学思想与文化第四章数学分支介绍 2 几何学内容 2.1 几何学发展概述 2.2 几何学的范畴 2.3 爱尔兰根纲领与几何基础的研究附：数学家小撰上帝必定是一个几何学家。伽利略（G.Galileo，意，15641642）人类各种知识中，没有哪一种知识发展到了几何学这样完善的地步没有哪一种知识像几何学一样受到这样少的批评和怀疑。赫尔姆霍斯（Helmholtz，德，l8211894）几何学是对人类和大自然中万物万象共存的空间的“认识论”，是研究“形”的科学。几何学以视觉思维为主导，培养人的观察力、空间想象力和洞察力，被赞誉为第一科学。几何学源远流长，文献丰富。几何学特色鲜明，多彩多姿

2、。几何学应用广泛，无处不在。从推动科学的进步来看，几何学的空间直观引起的直觉思维，构造几何模型产生的结构观念，追求严密逻辑走出的公理化道路，无一不渗透到数学乃至科学的各个领域。几何学最早出现在大约公元前3000年的埃及，从测量土地中产生。古埃及人和巴比伦人就已经在生产和生活实践中积累了大量的几何知识，得到了最简单的面积和体积的一些经验公式，如，计算矩形、三角形和梯形的面积公式 2.1 几何学发展概述古埃及人计算圆面积的方法圆面积的计算公式：A=(8d/9)2，其中d是直径。这就等于取约为3.1605。公元前7世纪，几何从埃及传到希腊，泰勒斯、德谟克利特等人又将它进一步发展了，

3、毕达哥拉斯和他创建的学派更是对几何做出了卓越的贡献。约公元前3世纪，欧几里德在前人工作的基础上，对希腊丰富的数学成果进行搜集、整理、总结，用命题的形式重新表述，对一些结论做出了严格的证明，编著了具有严密逻辑体系的公理化著作几何原本。几何原本的出现，标志着几何学成为数学科学中最古老，最为成熟的一个分支，它统治了数学的舞台达2000多年之久。17世纪，笛卡尔创建了解析几何。19世纪初，射影几何学出现。19世纪上半叶，各种非欧几何、微分几何、拓扑学相继诞生。2.2 几何学的范畴 1.欧氏几何约公元前3世纪，欧几里德撰写的著作几何原本诞生。几何原本具有无与伦比的崇高地位。几何，英文为“

4、Geometry”，其原意为“土地测量”。我国明代学者徐光启将“Geometry”一词译为“几何学”。几何原本共分为13卷，从23个定义、5条公设和5条公理出发，演绎出96个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系，几乎涵盖了前人所有的数学成果。几何原本第1卷：一些必要的定义、公设和公理第14卷和第6卷：平面几何第5卷：比例尺第79卷：数论第10卷：不可公度量第1113卷：立体几何几何原本是欧几里德按照公理化结构建立的第一个关于几何学的演绎体系，其演绎的思想是以人们普遍接受的简单的现象和简洁的数学内容作为起点，去证明复杂的数学结论。公设和公理的区别是：公

5、理是适用于一切科学的真理，而公设是只适用于几何学的原理。公理和公设的共同点是：都是不言自明的基本原理，是建立其他命题的共同出发点。欧几里德在几何原本中给出的5条公设：I.连接任意两点可以作一直线段。II.一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线。III.以任一点为中心，任意长为半径可以作圆。IV.所有直角都相等。V.若同一平面内任一条直线与另两直线相交，同侧的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长必在该侧相交。欧几里德在几何原本中给出的5条公理：I.等于同量的量彼此相等。II.等量加等量，其和相等。III.等量减等量，其差相等。IV.彼此能重合的东西是相等的。V.整体大于部分。后人把欧

6、几里德建立的几何理论称为“欧氏几何”，成立欧氏几何的平面称为“欧氏平面”，成立欧氏几何的空间称为“欧氏空间”。欧几里德在几何原本中使用的这种建立理论体系的方法称为“公理化方法”（原始公理法）。2.非欧几何在几何原本问世的2000年中，不少人试图去修正第V公设，认为可由其余公理和公设所证出，或用更简单或更直观的公设来代替。19世纪初，大批数学家开始意识到第V公设是不可证明的，唯一的办法就是或者承认它，或者重新构筑一个体系。第公设等价于：过直线外一点只可作一直线平行于已知直线（平行公设）。否定平行公设引出了两种几何：罗巴切夫斯基鲍耶几何与黎曼几何，平行公设成为三种几何的分水岭。罗

7、巴切夫斯基鲍耶几何（或罗氏几何）俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家鲍耶改变第公设为V：过直线外一点，至少能作两条直线与已知直线平行。新几何体系的结论：三角形内角和小于180o。鲍耶（J.Bolyai,匈，18021860）罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，俄，17921856）黎曼几何德国数学家黎曼修改第公设为：过直线外一点，不能作与已知直线相平行的直线。新几何体系的结论：三角形内角和大于180。黎曼（G.F.B.Riemann，德，18261866）既然三种几何的基本差别在于平行公设，故凡是与平行公设无关的欧氏几何的定理在三种几何中均成立。凡是与平行公设有关的欧氏几何

8、的定理在其他两种几何中都不再成立。例如，在一直角三角形中，用a,b表示两直角边，用c表示斜边，关于勾股定理，欧氏几何的结论是：a2+b2=c2；罗氏几何的结论是：a2+b2c2。罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为非欧几何。非欧几何的出现，是19世纪数学发展的一个重大突破。欧氏几何的公理存在于纯粹直觉中，是不可改变的真理，欧氏几何是人类心灵固有的，对于现实空间是客观合理的描述。康德（IKant，德，17241804）非欧几何能否找到现实的应用，其命题是否具有合理性？1868年，贝尔特拉米（意）发表论文论非欧几何学的实际解释。其后，克莱因（德）和庞加莱（法）先后在欧氏空间中给出了非欧几何的直观模型。

9、他们的主要结论是：如果非欧几何中存在矛盾，这种矛盾也将在欧氏几何中出现。这些模型化的解释从理论上消除了人们对非欧几何的误解，从而使之获得了广泛的认可。现在普遍接受的看法是：非欧几何是球面上的几何学，黎曼几何能在球面上实现，罗氏几何能在伪球面上实现。将球面上的大圆视为直线，则球面上的几何就为黎曼几何，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到合理的解释了。伪球面上的几何展现了罗氏几何。伪球面是指由一条曳物线绕一条固定的轴旋转成的旋转曲面。M N A B 非欧几何的现实性在逐渐被证实。如，爱因斯坦以黎曼几何为工具刻画了广义相对论中的物理空间；罗氏几何可以用来描述视空间（一种从正常的有双目视觉的人心理上观

10、察到的空间）。非欧几何的影响：摧毁了人们长久建立起来的欧氏几何是绝对真理的信念，深刻揭示了数学的本质问题；为数学提供了一个摒弃实用性，采用抽象与逻辑思维的智慧创造的自由天地。3.解析几何 17世纪前半叶，解析几何诞生。解析几何的创始人是笛卡尔（法）和费马（法），他们认为传统几何过多地依赖于图形，缺乏抽象的理性推导，而传统的代数过多地受到法则的约束，缺乏直观的感性认识。他们敏锐地认识到利用代数方法来研究几何问题是改变传统方法的有效途径。笛卡尔（R.Descartes，法，15961650）费马（P.de Fermat，法，16011665）笛卡尔1637年发表了著作方法论，附录之一的几何学

11、阐述了坐标几何的思想，标志着解析几何的诞生。笛卡尔的两个观念：（1）坐标观念。（2）将方程和平面上的曲线相对比的观念。以上两个观念就是用代数方法去解决几何问题，这就是解析几何的基本思想。费马（法）关于解析几何的工作源于对阿波罗尼奥斯的著作论平面轨迹中圆锥曲线的研究。1629年他所著的平面和立体的轨迹引论一书阐述了解析几何中坐标几何的原理，但不成熟，不纯粹。笛卡尔、费马之后，解析几何得到了很大的发展。沃利斯（英）1655年引入解析法，引入负坐标；雅可布伯努利（瑞士）1691年引入极坐标；约翰伯努利（瑞士）1715年引入空间坐标系 1731年，克雷洛（法）出版了关于双重曲率的曲线的研究

12、一书，是最早的空间解析几何著作。解析几何通过计算来作图形；求具有某种几何性质的曲线方程；用代数方法证明几何定理；用几何方法解代数方程等。解析几何使数学研究以几何为主导转变为以代数和分析为主导，以常量为主导转变为以变量为主导，为微积分的诞生奠定了基础。数和形的和谐统一为人们带来了新的思维方式，帮助人们从三维的现实空间进入更高维的虚拟空间，摆脱了现实的束缚，从有形飞越到无形。4.射影几何学 19世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出射影几何学。射影几何学是一门研究在把点射影到直线或平面上的时候，图形的不变性质的几何学（一度也称为投影几何学）。利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究提供了

13、新的方法。欧洲文艺复兴时期由于绘画、制图中的透视法导致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴起。阿尔贝蒂（意）1435年发表论绘画一书，阐述了最早的数学透视法思想。达芬奇（意）在绘画专论中坚信，数学的透视法可以将实物精确地体现在一幅画中。17世纪后，射影几何学逐渐诞生了。德萨格（法）是射影几何的先驱。1648年，画家博斯（法）发表“德萨格定理”：如果两个三角形对应顶点的连线共点，那么它们的对应边的交点共线。其逆定理也成立。1640年，帕斯卡（法）发表圆锥曲线论，提出了帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。早期发展的射影几何使用的是综合法，射影几何产生后很快让位于解析几何和微

14、积分。迟至19世纪射影几何才又被人们重新发现。射影几何复兴主要来自彭赛列（法）1822年发表的论图形的射影性质，他充分认识到射影几何是具有独特方法和目标的新的数学分支，是探索几何图形在任一射影的所有截面所共有的性质。5.拓扑学 1736年，瑞士数学家欧拉发表论文，讨论哥尼斯堡七桥问题。同时，提出球面三角形剖分图形顶点V、边 E、面F之间关系的欧拉公式（欧拉多面体公式）：V-E+F=2，这是拓扑学的开端。1847年，利斯廷（德）出版专著拓扑学引论。拓扑学也称橡皮几何学。最初是研究图形在连续变换下不变的整体性质，即一个空间经过同胚映射后的不变性质。通俗地讲，拓扑学关注图形这样的性质：

15、当这些图形在任意方向以任意大的力量被拉伸，只要不被撕裂、切割时，保持不变的性质。最著名的拓扑变换有两个：默比乌斯带只有一个面的曲面：把一根纸条扭转180后,两头再粘接起来做成的的纸带圈；克莱因瓶不可定向的闭曲面：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接而成的“瓶子”。1895-1904年，庞加莱（法）发表6篇论文组成的系列位置分析，采用代数组合的方法研究拓扑性质，奠定了组合拓扑学的基础。以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展的。20世纪上半叶，许多数学家提出了各种工具和方法，进一步促进了拓扑学的发展。20世纪50年代后，迎来了微分拓扑学的快速发

16、展时期。现在的拓扑学可粗略定义为对连续性的数学研究。任何几何都可能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已经成为数学的基础理论之一，渗透到各个分支，且成功地应用于电磁学和物理学的研究。6.微分几何在解析几何的基础上，若要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，而需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。微分几何是以分析的方法来研究几何性质的一门数学学科。经典微分几何研究的内容分为曲线论与曲面论。采用无穷小的方法来研究曲线与曲面的“局部”性质。17世纪，微分几何中的平面曲线理论基本完成。1673年：惠更斯（荷）定义了渐伸线、渐屈线。1671年和1686年：牛顿和莱布尼兹分别给出曲率、曲率半径的概念和计算公式。1691-1692年：约翰伯努利（瑞士）给了曲线包络的概念。1696年：洛必达（法）的著作关于曲线研究的无穷小分析完成并传播了微分几何中的平面曲线理论。18世纪，微分几何着眼于研究欧氏空间中曲线和曲面弯曲的情况，如：子弹的运行轨迹，建筑物的造型，汽车、飞机的外形等。1731年：克雷洛（法）关于双重曲率曲线的研究；1760