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用概率告诉你：集齐 “五福” 要多久

花匠小妙招
2025-12-15 23:40

问题描述：
Suppose that each coupon obtained is, independent of what has been previously obtained, equally likely to be any of m different types. Find the expected number of coupons one needs to obtain in order to have at least one of each type.
Hint: Let X be the number needed. It is useful to represent X by
X = ∑ i X i X = sum_i X_i X=i∑Xiwhere each X i X_i Xi is a geometric random variable.
（问题来源：《Introduction to Probability Models 10th Edition》习题2.42）

中文描述：

假设在一次抽奖活动中，你需要集齐 m 种卡片，每次抽中任意类型卡片的概率是相等的，即 1 m frac{1}m m1 。那么要集齐所有类型，平均要抽多少次？

背景知识（几何分布）：

这道题第一次做还是费一点脑力的，即便题目给了提示：考虑 m 个几何分布的和，但其实容易带来误导。

对于几何分布，大家都非常了解。每次试验成功的概率是 p，则直到第 n 次试验才第一次成功的概率服从几何分布 P(n)：1

Suppose that independent trials, each having probability p of being a success, are performed until a success occurs. If we let X be the number of trials required until the first success, then X is said to be a geometric random variable with parameter p. Its probability mass function is given by
P ( n ) = P { X = n } = ( 1 − p ) n − 1 p , n = 1 , 2 , . . . P(n) = P{X = n} = (1 − p)^{n−1}p, n = 1, 2, . . . P(n)=P{X=n}=(1−p)n−1p,n=1,2,...
在本题中只需要用到它的期望：
E [ X ] = ∑ n = 1 inf ⁡ n p ( 1 − p ) n − 1 = 1 / p E[X] = sum_{n=1}^{inf}np(1 − p)^{n−1}=1/p E[X]=n=1∑infnp(1−p)n−1=1/p
也就是说平均需要 1/p 次试验才能成功，这非常直观明显，假设成功的概率是1/3，那平均尝试3次就能成功。

解答：

先从简单情况分析：

假设只有 1 种福卡，那只需要抽1次就集齐了。假设有 2 种福卡呢？首先第一次一定可以抽中其中一种，那么问题就变成了：还需要抽多少次才能抽中第二种？显然这是几何分布问题：成功的概率 p = 1/2，那么平均还需要再抽2次，所以总体上看，平均抽奖 1+2 = 3次就能集齐两种福卡。假设有 m 种福卡呢？大家应该明白了，我们一种一种来数。
首先，抽中第一种福卡，需要 1 次；
接着，我们希望抽中一种和之前不同的卡片，那么这个几何分布问题中成功的概率是 m − 1 m frac{m-1}m mm−1, 即抽中剩余 m-1种的任意一种，失败的概率是 1 m frac1m m1，即和第一次抽的一样。那么抽中第二种福卡，需要 1 m − 1 m = m m − 1 frac1{frac{m-1}m}=frac{m}{m-1} mm−11=m−1m次；
接下来，规律自然就出来了，抽第三种福卡需要和之前两种不同，那么成功的概率是 m − 2 m frac{m-2}m mm−2，所以抽中第三种福卡，需要 1 m − 2 m = m m − 2 frac1{frac{m-2}m}=frac{m}{m-2} mm−21=m−2m次；
……
最后，抽中第m种福卡，需要 m 次。
所以，总共需要 ∑ i = 0 m − 1 m m − i = ∑ i = 1 m m i sum_{i=0}^{m-1}frac{m}{m-i}=sum_{i=1}^{m}frac{m}{i} i=0∑m−1m−im=i=1∑mim

你可能有些遗憾，只能写成级数形式，不过这就是最简形式了。
如果你怀疑它的正确性，我们下面来做个简单的仿真。

程序仿真：

import random import matplotlib.pyplot as plt def sim(m): count = 0 round = 1000 #重复次数 for i in range(round): l = [0 for i in range(m)] while True: count = count+1 l[random.randint(0,m-1)] = 1 if sum(l[:]) == m: #全部集齐 break return count/round def func(m): temp = [m/i for i in range(1,m+1)] return sum(temp) x = [i for i in range(1,10)] y_simulation = [sim(i) for i in x] y_target = [func(i) for i in x] plt.plot(x,y_simulation,'b') #蓝线代表仿真结果 plt.plot(x,y_target,'or') #红点代表理论结果 plt.show()

python

运行

12345678910111213141516171819202122232425

实验结果：
横坐标代表“福卡”种数
纵坐标代表抽奖次数

在这里插入图片描述
非常完美！
现在你知道在等概率条件下，集齐赢大奖之类游戏要抽多少次了吧！当然，等概率条件在现实抽奖情况下往往是不存在的。 XD