FIR外文翻译汉文

• 花匠小妙招
• 2026-05-26 12:05

用改进的窗函数设计

FIR

数字滤波器

谭家杰

, 

罗昌由

, 

黄三伟

, 

邓小辉

衡阳师范学院

物理与电子信息科学系

, 

湖南

衡阳

 421008 

摘

要

窗函数设计

FIR 

数字滤波器已多年

, 

近年来

, 

用优化技术设计数字滤波器十分流行

, 

论文提出了一种新方法对窗函数进行改进

, 

这种窗函数不同于以往的

Hanning

窗、

Hamming 

窗、

Blackman 

窗

, 

它先将余弦序列线性组合为窗函数

, 

然后根据

FIR 

数字滤波器的特性对

数字滤波器的幅度条件进行线性规划。并且给出了改进窗函数的算法。最后

, 

用该方法设计

出了

FIR 

数字滤波器的仿真实例

, 

并与用

Hamming 

窗、

Blackman 

窗方法设计的

FIR 

滤

波器进行对比

, 

仿真结果表明用该方法设计的滤波器满足设计规格。

关键词

改进的窗函数

  FIR 

数字滤波器

窗函数

线性规划

中图分类号

: TN713+.7 

文献标志码

: A 

文章编号

: 1673-0313( 2010) 06-0031-04 

0   

引

言

FIR 

数字滤波器的设计方法主要有

:

窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法

[1-4]

。

窗函数法是设计

 FIR 

数字滤波器最常用、

最简单的方法

[4-5]

。

窗函数法的实质是

用截断理想冲激响应的方法来逼近所求的滤波器指标。频率采样法是一种优化设计方法

,

其

缺点是设计时使用的变量仅限于过渡带上的几个采样值

,

截止频率不容易控制

[3]

。

切比雪夫

等波纹逼近法是一种优化设计

, 

但是存在计算复杂

,

计算量较大的缺点

[1-2]

。

窗函数法设计简单

, 

有闭合形式的公式

, 

因而很实用。缺点是通带、

阻带的截止频率

不容易控制

[2-3]

。数字滤波器的好坏取决于窗函数的选取

, 

窗函数法设计的关键是

: 

选择

合适的窗函数

, 

选择合适的阶数

,

改善数字滤波器的幅频特性

, 

减少

 Gibbs

现象

,

解决收敛

问题

[1-2]

。

文献

[3] 

选择

 Guass 

窗函数

,

通过对

 Guass 

窗函数改进

, 

设计出的低通滤波器

具有更好的优越性

; 

文献

[4] 

利用已知的误差信息

,

在迭代过程中通过窗函数法不断修改设

计结果

, 

在滤波器阶数不变的情况下

, 

滤波器的频率响应逼近理想频率响应。

文献

[5] 

用整

数序列

,

如

 Fibonacci

序列、

 Golomb 

序列、

 Hofstadter Conway 

序列、

 Recursive 

Triangular 

序列产生窗函数

, 

来设计滤波器

, 

其效果优于经典的设计方法。文献

[6] 

选择

双窗结构得到的窗函数序列使系统特性逼近误差最小

; 

文献

[7] 

将

 Saramaki window 

窗并

且与

Dolph-Chebysheve window 

结合设计出的

FIR 

数字滤波器

, 

其效果胜过

 Kaiser 

window ; 

文献

[8] 

提出的

ReImann  window 

效果好于

 Hamming window

和

Kaiser window 

窗。文献

[9] 

提出一种指数型窗函数

,

该窗函数具有宽度可调特性

, 

用该窗设计的数字滤波

器有主瓣能量更集中

, 

旁瓣更少的特点。文献

[10] 

采用线性规划法设计线性相位的升余弦

数字滤波器能

100 

%

超带宽。文献

[11]

则采用线性规划法设计数字滤波器。本文利用已有的

窗函数

,

对其进行加权组合

, 

参照文献

[10-11] 

的线性规划法

, 

与同长的

Hamming

、

Blackman 

窗进行比较。这种方法的优点是逻辑性强、

目标明确、

易于实现

, 

并能探索最

佳方案。

1   

常用的窗函数

窗函数选择原则

:

窗函数能量尽可能集中在主瓣内

,

过渡带陡峭

;

减少窗函数频谱的旁瓣

高度

,

增大阻带衰减

, 

减小通带和阻带的波纹。常用的窗函数有

[1-4]: Rectangle

窗、

Hanning 

窗、

Hamming 

窗、

Blackman

窗、

Kaiser 

窗。窗函数法设计

FIR 

滤波器的思路是

[1-2]:

先

确

定

理

想

滤

波

器

的

频

率

响

应

)

(



j

d

e

H

, 

实

际

设

计

滤

波

器

的

频

率

响

应











1

0

)

(

)

(

N

n

j

j

e

n

h

e

H





来逼近

)

(



j

d

e

H

。

再对











1

0

)

(

)

(

N

n

j

j

e

n

h

e

H





进行反变换得最后用

窗函数

)

(

n

w

来截断

)

(

n

h

d

,

即

h( 

n) 

= 

)

(

n

h

d

)

(

n

w

。对

)

(

n

h

d

截断后

,

会产生吉布斯现象

,

所

有的窗函数选择都以减少这种现象为目的。判断较理想的窗函数主要根据以下三个标准

!

主

瓣的幅度要高

,

且其宽度应该尽量的窄。旁瓣的幅度下降速度快

,

最大旁瓣相对于主瓣应该尽

量小。

#

过渡带要求要尽量窄。事实证明前面两条标准不可能同时满足

,

因此窗函数应该是这

两条的折中

[1-3]

。为减少由于加窗截断引起的波纹和过渡带变宽影响

,

在工程设计中常用

Hamming

窗和

Kaiser

窗。

2 

改进的窗函数

文献

[1-2] 

列举的窗函数中

, Hanning 

窗、

Hamming 

窗、

Blackman 

窗是余弦序列与矩

形序列的线性组合。

为了抑制旁瓣的幅度

, 

在

Hanning 

窗、

Hamming 

窗的基础上

, 

再增加

余弦的二次谐波分量

, 

此时设计的窗函数又与理想的频率响应有关

, 

又不同于

Blackman 

窗

,

对窗函数改进后的形式如下：

)

(

1

4

cos

1

2

cos

)

(

n

N

R

N

n

c

N

n

b

a

n





























(1) 

公式

( 

1)

中的

a, 

b, 

c 

待定

,

其大小与给定的滤波器的技术指标相关。为方便起见

,

该窗函

数长度选择为奇数。接下来探讨该式的几个特例。情况

1,

取

a= 1, b= c= 0, 

为矩形窗。情况

2, 

取

a= 0.5, b= - 0.5, c= 0,

为

Hann 

窗。情况

3, 

取

a=0.53, b= - 0.46, c = 0, 

为

Hamming 

窗。

情况

4,a= 0.42, b= - 0. 5, c= 0.08,

为

Blackman 

窗。

由上述可知

,

改进后的窗函数具备上述四种

窗函数的性质

,

属于上述窗函数的一般形式。

3   

改进的窗函数算法

根据给定滤波器的技术指标

)

(



j

d

e

H

, 

确定待定滤波器的单位取样响应

, 

可由下列公

式求出

: 













d

e

e

H

n

h

j

j

d

d







)

(

2

1

)

(

（

2

）

计算实际滤波器的单位取样响应

: 

h( n) = 

)

(

n

h

d

)

(

n

w

（

3

）

滤波器的频率响应为

: 











1

0

)

(

)

(

N

n

j

j

e

n

h

e

H





（

4

）

将公式

( 1)

代入公式

( 4)

得

: 









jn

N

n

n

d

j

e

N

n

c

N

n

b

a

h

e

H































1

4

cos

1

2

cos

)

(

1

0

)

(

(5) 

参

考

文

献

[1-2] 

[10-11] 

,

考

虑

FIR

滤

波

器

满

足

第

一

类

线

性

相

位

条

件

, 





















1

4

cos

1

2

cos

)

(

N

n

c

N

n

b

a

h

n

d





对

2

1



N

偶

对

称

, 

且

N 

为

奇

数

, 

令

h 

( 

n) 

= 

)

(

n

h

d























1

4

cos

1

2

cos

N

n

c

N

n

b

a





。则

)

(



j

e

H

的幅度写成下式

: 





























2

1

cos

)

(

)

(

1

0

N

n

n

h

H

N

n

将上式继续化简得

[ 1-2] 

)

(

cos

)

(

)

(

2

1

0





n

n

a

H

N

n









式中

)

2

1

(

)

0

(





N

h

a

2

1

...

3

,

2

,

1

),

2

1

(

2

)

(











N

n

n

N

h

n

a

(6) 

则式

( 6) 

可以写成

c

C

b

B

a

A

H

)

(

)

(

)

(

)

(















(7) 

式中





n

n

N

h

N

h

A

N

n

d

d

cos

2

1

2

2

1

)

(

2

1

1









































(8) 







n

N

n

n

N

h

N

h

B

N

n

d

d

cos

1

2

cos

2

1

2

2

1

)

(

2

1

1















































(9) 







n

N

n

n

N

h

N

h

C

N

n

d

d

cos

1

4

cos

2

1

2

2

1

)

(

2

1

1













































(10) 

如果滤波器的幅度条件为

:

通带内满足

n

H









1

)

(

, 

阻带内满足

n

H







)

(

, 

通带

内可以列出如下方程

: 

p

c

C

b

B

a

A

















1

)

(

)

(

)

(

(11) 

p

c

C

b

B

a

A

















1

)

(

)

(

)

(

(12) 

阻带内可列出方程

: 

s

c

C

b

B

a

A















)

(

)

(

)

(

(13) 

s

c

C

b

B

a

A

















)

(

)

(

)

(

(14) 

p



为通带波纹

, 

s



为阻带波纹。为方便问题的讨论

,

这里取系数

a, 

b, 

c 

大于零作

为约束条件。该问题可以转化为线性规划问题

[10-12], 

公式

(11) (12) (13) (14) 

可以作为约束

条件。

经此转换后

, 

问题求解变得方便了。

公式

(11) (13) 

和公式

(12) (14) 

分别添加松弛变量、

惩罚变量变换成标准的线性规划方程组

[12] : 

p

d

c

C

b

B

a

A



















1

)

(

)

(

)

(

（

15

）

p

e

c

C

b

B

a

A



















1

)

(

)

(

)

(

（

16

）

s

•

f

c

C

b

B

a

A

















)

(

)

(

)

(

（

17

）

s

g

c

C

b

B

a

A



















)

(

)

(

)

(

（

18

）

其中

d, e, f , g 

全大于

0

。

解决这个问题的方法可以用最小二乘法求解或迭代法求解。

算

出

a, b, c, 

便可以确定窗函数。根据上述过程

,

这种滤波器的设计算法按照下列步骤

: 

Ⅰ

.

在频率域等间隔取

N 

点

, 

且其为奇数

, 

对频率域序列做离散傅里叶反变换

,

求出理想

数字滤波器的单位取样响应

)

(

n

h

d

。

Ⅱ

.

由公式

(8) (9) (10)

分别求出

•

A

)

(



、

•

B

)

(



、

)

(



C

。

Ⅲ

.

由公式

(11) (12) (13) (14)

列出优化的约束条件。

Ⅳ

.

解线性方程组

,

求出

a, b, c 

的最优解

, 

从而确定数字滤波器

h(n)

。

Ⅴ

.

验算技术指标是否满足要求。

4 

应用实例

设计一低通数字滤波器

, 

其技术指标如下

: 

通带截止频率





2

.

0



p

, 

阻带截止频率





4

.

0



s

,

通带波纹

01

.

0



p

R

,

阻带波纹

001

.

0



Rs

。









2

.

0









p

s

, 

截止频率为









3

.

0

2







s

p

c

, Blackman 

窗的

FIR 

数字

滤波器窗口长度为

61









A

N

, Hamming 

窗的长度为

41

。用

Hamming 

窗和

Blackman 

窗设计的

FIR 

滤波器的幅度特性如图

1

。用改进窗法设计

FIR 

滤波器如图

2

。

图

1 Hamming

窗和

Blackman

窗设计的幅度特性

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