1*2+2*3+3*4·······+49*50= 爱问知识人

• 花匠小妙招
• 2024-11-04 03:57

  41650。 1*2 + 2*3 + 3*4 + 。。。 + 49*50 = 1*(1+1) + 2*(2+1) + 3*(3+1) + 。。。 + 49*(49+1) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 。。。 + 49^2 + 1 + 2 + 3 + 。
  。。 + 49 = 49 * 50 * (49*2 + 1) / 6 + 49 * 50 / 2 = 41650。 这里用到以下公式：1+2+3+。。。+n = n * (n+1) / 2,所以1+2+3+。。。+49 = 49*(49+1)/2。
   1^2+2^2+3^2+。。。+n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6,所以1^2+2^2+3^2+。。。+49^2 = 49*50*(49*2+1)/6。 第二个公式可以用数学归纳法证明： n=1时，1^2 = 1, 1*(1+1)*(2*1+1)/6 = 1,即n=1是成立的。

     假设n=k时也成立，即1^2+2^2+3^2+。。。+k^2=k*(k+1)*(2*k+1)/6, 当n=k+1时，1^2+2^2+3^2+。。。+k^2+(k+1)^2 = k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)^2 = (k+1)*(k+2)*(2k+3)/6,即n=k+1时也成立。

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