小白加油——每日刷题——动归——摆花问题
一.题目——摆花
小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 m 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 n 种花，从 1 到 n 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 i 种花不能超过 ai" role="presentation">ai盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。
试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。
## 输入格式
第一行包含两个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开。
第二行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 a1" role="presentation">a1,a2" role="presentation">a2, ... ,an" role="presentation">an。
## 输出格式
一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 10^6+7 取模的结果。
## 样例 #1
### 样例输入 #1
```
2 4
3 2
```
### 样例输出 #1
```
2
```
## 提示
【数据范围】
对于 20% 数据，有 0<n≤8,0<m≤8,0≤ai≤80<n≤8,0<m≤8,0≤ai≤8。
对于 50% 数据，有 0<n≤20,0<m≤20,0≤ai≤200<n≤20,0<m≤20,0≤ai≤20。
对于 100% 数据，有 0<n≤100,0<m≤100,0≤ai≤1000<n≤100,0<m≤100,0≤ai≤100。
NOIP 2012 普及组 第三题
二.动态规划解法1——二维DP
1.dp数组用vector容器来定义，dp[i][j]表示现在摆了i种花，一共摆了j盆。
2.状态转移方程组为dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-k])%1000007 (1<=k<=a[i])
k的最小值为1，保证了每种花至少都有一盆。
3.赋初值部分 ：dp[0][0]=1,表明最开始只有一种情况，就是什么花都没有。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<int> a(n + 1);
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
dp[0][0]=1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
for (int k = 1; k <= a[i] && k <= j; k++) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j-k])%1000007;
}
}
}
cout << dp[n][m] << endl;
return 0;
}
三.动态规划解法2——一维DP
1.关于一维DP，此处用f数组来表示，状态转移方程组为f[j]=(f[j]+f[j-k])%1000007
(1<=k<=min(a[i],j))，和二维DP不同的是j是递减的。
一维DP目前还不太会，以下是一段讲解的链接
动态规划——一维dp数组与二维dp数组-CSDN博客
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n;
int a[506],f[506];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=0;j--){
for(int k=1;k<=min(a[i],j);k++){
f[j]=(f[j]+f[j-k])%1000007;
}
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
四.解题过程中遇到的问题
关于数组定义
1.两种可行的方式：1)vector容器定义一个(n+1)*(m+1)维的矩阵
vector<int> a(n + 1);
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
2)定长的矩阵和向量，最大长度根据题目要求来
int a[109];
int dp[109][109];
2.不可行的方式:int a[n+1];
int dp[n+1][m+1];
这种方式无法全部AC。
3.原因分析：以下是我目前了解到的原因，比起状态转移方程的思考，我反而在数组定义这里卡了挺久的，如果有大佬愿意解答，表示非常感谢！
1）dp[n+1][m+1]用栈来存储数组，存储容量有限，很容易出现栈内存不够大的情况，导致栈溢出
2）vector则是以堆的方式来存储，存储容量更大
3）int a[109];
int dp[109][109];这种方式是定长数组，预先分配内存，不会出现问题
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