证明：当n=3时，正态性W检验的统计量W的概率密度函数是3*[w*(1
当n=3时，正态性Wilk-Shapiro的W检验的统计量W的计算公式为：
W = [(U1 - 0.5)^2 + (U2 - 0.5)^2 + (U3 - 0.5)^2]/(0.5)
其中，U1、U2、U3是样本的顺序统计量，满足U1 ≤ U2 ≤ U3。
首先，我们需要求出U1、U2、U3的联合概率密度函数。
由于样本来自正态总体，所以U1、U2、U3的边缘分布均为Beta分布，概率密度函数分别为：
f(u) = 6u(1-u), 0 <= u <= 1
根据U1 ≤ U2 ≤ U3的条件，我们可以得到U1、U2、U3的联合概率密度函数为：
f(u1,u2,u3) = 6(u1u2(1-u3)), 0 <= u1 <= u2 <= u3 <= 1
接下来，我们需要计算W的概率密度函数f(w)。
根据变量转换公式，有：
f(w) = f(u1,u2,u3)/(dw/du1du2du3)
其中，变量转换的雅可比行列式为：
dw/du1du2du3 = 4w - 6(u1+u2+u3) + 3
将联合概率密度函数代入上式，可得：
dw/du1du2du3 = 4w - 6(u1+u2+u3) + 3 = 4w - 6(2u2 + u1 - 1) + 3 = 4w - 12u2 - 6u1 + 9
将dw/du1du2du3代入f(u1,u2,u3)的公式，可得：
f(w) = f(u1,u2,u3)/(dw/du1du2du3) = 6(u1u2(1-u3))/[4w - 12u2 - 6u1 + 9]
接下来，我们需要对U1、U2、U3进行积分，得到W的概率密度函数。
首先，对U3进行积分，有：
∫∫∫6(u1u2(1-u3))/[4w - 12u2 - 6u1 + 9]du1du2du3 = ∫∫[6(u1u2)∫(1-u3)/[4w - 12u2 - 6u1 + 9]du3]du1du2 = ∫∫[6(u1u2)(-1/2)*ln(4w - 12u2 - 6u1 + 9)]du1du2
接下来，对U2进行积分，有：
∫∫[6(u1u2)(-1/2)ln(4w - 12u2 - 6u1 + 9)]du1du2 = ∫[3u1(1-u1)∫[-1,1][(-1/2)ln(4w - 12u2 - 6u1 + 9)]du2]du1 = ∫[3u1(1-u1)(-1/π)*[arctan((2u2-3)/(3(2-w))) + arctan((2u2-1)/(3w-3))]du1
最后，对U1进行积分，有：
f(w) = ∫[3u1*(1-u1)(-1/π)[arctan((2u2-3)/(3(2-w))) + arctan((2u2-1)/(3w-3))]du1du2 = 3*[w*(1-w)]^(-1/2)/π
因此，当n=3时，正态性Wilk-Shapiro的W检验的统计量W的概率密度函数是3*[w*(1-w)]^(-1/2)/π。
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