图论 —— 带花树算法
【概述】
带花树算法用于解决一般图的最大匹配问题。
对于一个图 G(V,E)，他的匹配 M 是二元组 (u,v) 组成的集合，其中 u,v∈V,(u,b)∈E，且 M 中不存在重复的点，当 |M| 最大的时候，称 M 为图 G(V,E) 的最大匹配。
当图 G(V,E) 是一个二分图时，由于其若含有环，则一定是偶环（一个点数为 2k 的环），其最大匹配可以使用匈牙利算法或网络流算法来求解。
当图 G(V,E) 是一个一般图时，由于一般图会含有奇环（一个点数为 2k+1 的环），而经过一个奇环会得到两条含有同一个点的匹配边，因此当图 G(V,E) 是一个一般图时，无法直接进行增广，需要用改进算法来求解最大匹配，即带花树算法。
【带花树算法】
带花树算法仍是分 n 个阶段寻找增广路，由于问题出在奇环上，那么首先分析一下奇环的性质。
奇环中有 2k+1 个点，所以最多有 k 组匹配，也就是说有一个点没有匹配，即这个点在环内两边的连边都不是匹配边，也只有这个点可以向环外连边。
根据这个性质，可以将奇环缩成一个点（这个点称为花），由于增广路经过奇环，那么奇环内的增广路可以还原出来，因此缩完点后的图如果可以找到一条增广路，那么原图中也可以找到一条增广路。
根据上述思想，整个求解过程可以分成 n 个阶段，每个阶段从没有匹配的 S 点开始 BFS 寻找增广路。
搜索的开始，将 S 点加入队列中，标记为 A 类点，如果从 x 点出发，搜索到一个未标记点，那么有两种情况：
1）如果这个未标记点 x 有匹配：将这个点设为 B 类点，它的匹配点设为 A 类点，加入队列继续增广。
2）如果这个未标记点 x 没有匹配：由于是从一个未匹配点开始进行搜索的，所以这说明找到了一条增广路，沿着过来的边找回去，展开带花树，在搜索的过程中，如果遇到了环，又有两种情况：
①修改搜索的过程中，如果遇到偶环：那么由于其不影响求解，因此不用管它
②修改搜索的过程中，如果遇到奇环：那么找到当前点 x 和找到的点 y，求出他们最近公共花祖先，然后用并查集缩掉环。
在缩环的时候，维护一个 pre 数组，表示回跳的时走到这里该往哪一个方向走回去。回跳的时候，每次找到 pre，然后修改这条边，接着跳到 pre 原来的 match 处。
如果倒着进入一个花的时候，上方的边为非匹配边，那么我们会往下走，这个时候 pre 就应该往下设，中间相遇的位置 pre 互相连接，即：pre[x]=y,pre[y]=x
时间复杂度：由于算法分为 n 个阶段，每个阶段最多把整个图遍历一次，每个点会最多被缩 n 次花，所以总复杂度为 O(n3)
【模版】
struct Edge {
int to,next;
} edge[N*N*2];
int head[N],tot;
int n;
int father[N],pre[N];
int Q[N*N*2],first,tail;
int match[N];
bool odd[N],vis[N];
int timeBlock;
int top[N],rinedge[N];
void addEdge(int x,int y) {
edge[tot].to=y;
edge[tot].next=head[x];
head[x]=tot++;
}
int Find(int x){
if(father[x]!=x)
return father[x]=Find(father[x]);
return x;
}
int lca(int x, int y){
timeBlock++;
while(x){
rinedge[x]=timeBlock;
x=Find(top[x]);
}
x=y;
while(rinedge[x]!=timeBlock)
x=Find(top[x]);
return x;
}
void blossom(int x, int y, int k) {
while(Find(x)!=Find(k)){
pre[x]=y;
y=match[x];
odd[y]=false;
Q[tail++]=y;
father[Find(x)]=k;
father[Find(y)]=k;
x=pre[y];
}
}
bool bfs(int s) {
memset(top,0,sizeof(top));
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(odd,false,sizeof(odd));
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;i++)
father[i]=i;
vis[s]=true;
first=tail=0;
Q[tail++]=s;
while(first!=tail){
int now=Q[first++];
for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next){
int to=edge[i].to;
if(!vis[to]){
top[to]=now;
pre[to]=now;
odd[to]=true;
vis[to]=true;
if(!match[to]){
int j=to;
while(j){
int x=pre[j];
int y=match[x];
match[j]=x;
match[x]=j;
j=y;
}
return true;
}
vis[match[to]]=true;
top[match[to]]=to;
Q[tail++]=match[to];
}
else if(Find(now)!=Find(to) && odd[to]==false) {
int k=lca(now,to);
blossom(now,to,k);
blossom(to,now,k);
}
}
}
return false;
}
int main() {
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(match,0,sizeof(match));
tot=0;
int m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
addEdge(x,y);
addEdge(y,x);
}
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!match[i])
res+=bfs(i);
printf("%dn",res);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",match[i]);
printf("n");
return 0;
}
【例题】
一般图最大匹配（UOJ-79）：点击这里挑战NPC（洛谷-P4258）：点击这里相关知识
一般图最大匹配：带花树入门详解
鲜花分类算法
带花树的景观绿化与生态修复应用
【免费】中山大学大学生程序设计竞赛2>=
C#：实现模拟花卉进化过程算法（带源代码）
山茶花树
小麦病害检测数据集【‘细菌叶斑病‘, ‘褐斑病‘, ‘叶瘤病‘】
仿真花树景观临沂
限流算法总结：计数器、滑动窗口、漏桶算法、令牌桶算法
GS稳定匹配算法算法
网址: 图论 —— 带花树算法 https://m.huajiangbk.com/newsview1141625.html
| 上一篇: 中国国家博物馆馆藏文物研究丛书《 |
下一篇: 上海“花树”诞生姊妹篇 |
