首页 > 分享 > 如图所示.某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道 .并在这两条“健康石道两端之间建设“花卉长廊 .以供市民休闲健身．已铺设好的部分BD=20m.ED=10$\sqrt{6}$m.∠BED=45°．由于设计要求.未铺设好的部分AB和BC的总长只能为40m.则剩余的“花卉长廊最短可以是20m．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

如图所示.某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道 .并在这两条“健康石道两端之间建设“花卉长廊 .以供市民休闲健身．已铺设好的部分BD=20m.ED=10$\sqrt{6}$m.∠BED=45°．由于设计要求.未铺设好的部分AB和BC的总长只能为40m.则剩余的“花卉长廊最短可以是20m．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

花匠小妙招
2024-09-15 06:46

9．如图所示，某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”（线段AD和CE），并在这两条“健康石道”两端之间建设“花卉长廊”（线段AC和ED），以供市民休闲健身．已铺设好的部分BD=20m，ED=106" role="presentation">6m，∠BED=45°（△BDE为锐角三角形）．由于设计要求，未铺设好的部分AB和BC的总长只能为40m，则剩余的“花卉长廊”（线段AC）最短可以是20m．

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分析在△BDE中使用正弦定理求出∠DBE，设AB=x，在△ABC中利用余弦定理把AC表示为x的函数，求出函数的最小值即可．

解答解：在△BDE中，由正弦定理得：BDsin∠BED=DEsin∠DBE" role="presentation">BDsin∠BED=DEsin∠DBE，即20sin45°=106sin∠DBE" role="presentation">20sin45°=106sin∠DBE，解得sin∠DBE=32" role="presentation">32．
∵△BDE是锐角三角形，∴cos∠ABC=cos∠DBE=12" role="presentation">12．
设AB=x，则BC=40-x，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC，
∴AC2=x2+（40-x）2-x（40-x）=3x2-120x+1600=3（x-20）2+400．
∴当x=20时，AC2取得最小值400，∴AC的最小值为20．
故答案为：20．