自然对数的由来及其在生活原型中的应用

• 花匠小妙招
• 2025-02-19 15:33

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高中数学必修一对数与对数运算一节中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中也指出，如果底数是以 e为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少，e似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。

过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？

财主算了算，结算3次，利率为 ，1元钱一年到期的本利和是： ，

结算4次，1元钱到一年时还 。

财主还想，一年结算1000次，其利息是：

这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有：

。

这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道， 的值是随n的增大而增大，但增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把 极限记作e，e=2.71828…，即自然对数的底。

e的影响力其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，岂不奇妙？

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