首页 > 分享 > 二次函数知识点总结剖析.docx

二次函数知识点总结剖析.docx

花匠小妙招
2025-03-29 04:36

文档简介

bb当a>0时，抛物线开口向上，并且向上无限伸展；对称轴为,顶点坐(2)当当a>0时，抛物线开口向上，并且向上无限伸展；对称轴为,顶点坐(2)当时，函数有最小值2a时，y随x的增大而减小；二次函数总结一、二次函数的概念及图象特征它二、二次函数图像的性质yb当a<0时(1)开口向下，并且向下无限伸展；对称轴为时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y=ax²+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0.(2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.(1)在a>0的前提下，当b>0当b=0当b<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；,即抛物线的对称轴就是y轴；,即抛物线对称轴在y轴的右侧.(2)在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0当b=0当b<0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；,即抛物线的对称轴就是y轴；,即抛物线对称轴在y轴的左侧.3.常数项c(1)当c>0(2)当c=0(3)当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.画二次函数的图像主要确定其开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。三、二次函数图象的平移规律点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要(1)将抛物线的解析式转化成顶点式：y=a(x-h)²+k,确定其顶点坐标是(h,k),(2)保持抛物线y-a³(α≠0)的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，注：要先将二次函数配凑成顶点式。平移规律：上加下减，左加右减。四、二次函数与x轴的交点个数的确定重点把握二次函数图象与x轴(或y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.掌握此点，关键是理解二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点，即y=0,即ax²+bx+c=0,从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位.时的特殊情况.一元二次方程ax²+bx+c=0是二次函数y=ax²+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：其中的x,x₂是当△=b²-4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x₁,O),B(x₂,O)(x₁其中的x,x₂是一元二次方程αx²+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离..当a>0时二次函数的顶点在x轴的下方，函数的最小值小于0,当a<0时，二次函数的顶点在x轴的上方，函数最大值大于0.②当△=0时，图象与x轴只有一个交点；此时顶点在x轴上，顶点坐标为,0)函数的最值为0.③当△<0时，图象与x轴没有交点.l'当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0,此时函数顶点在x轴2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0此时函数顶点在x轴的因此，在求解一元二次方程的解得时候，有时可能会与二次函数联系。五、二次函数解析式的表示方法是抛物线与x轴两交点的横坐标).示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3)根据图象的位置判断二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c的符号，或由二次函数中a,知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.(1)根据实际问题，建立二次函数的模型。(2)根据已知模型，利用待定系数法，列出二次函数方程。二次函数典型例题解析例1如果函数y=(m-3)x”"²-3m+²+mx+1是二次函数，那么m的值为例4、若为二次函数y=x²+4x-5的图象上的三点，则yi,y₂,y₃的大小关系是()为()例7如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D,点A的坐标为(-1,0)求B、C、D三点的坐标；二次函数交点问题例11.抛物线y=-x²+6x-5与x轴交点为A,B,(A在B左侧)顶点为C.与y轴交于点D(2)若在抛物线上有一点M,使△ABM的面积是△ABC的面积的2倍。求M点坐标(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在，求出Q点例12.抛物线y=ax²+bx-4a(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m,m+1)经过A(-1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B.例13.如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(2)过A作AP//CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.例14.在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似.若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.例15.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(3分)(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(3(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?(4分)例16、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y₂与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?二次函数应用几何面积问题与最大最小问题例17、.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym².求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大?三次函数与四边形及动点问题例18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=8√2cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA动.设运动时间为t秒.(2)求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.中考压轴题.(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMD的面积；是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，例20、如图，已知抛物线与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C,且(1)求抛物线的解