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时间序列

花匠小妙招
2025-04-28 20:54

平稳性定义

平稳性是时间序列中最重要的概念之一。一个平稳的序列意味着它的均值、方差和协方差不随时间变化。
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图一：均值是变化的（增长），整体是向上增长的趋势。在- 个平稳的序列里，它不应该有任何的变化趋势。图二：没有一个明显变化的趋势，但是每一个数据的差别很大，而且这个差别的大小也不是稳定的。即方差是变化的图三：随着时间的变化，数据的分布变得密集，（中间是挤在一起的），意味着协方差在变化。

大多数的时间序列模型都假设时间序列（TS）是平稳的。首先，我们可以说，如果一个TS在一段时间内有一个特定的行为，那么它很有可能在将来遵循相同的行为。与非平稳序列相比，平稳序列的相关理论更为成熟，更易于实现。

平稳性是用非常严格的准则来定义的。然而，出于实际目的，如果序列随时间具有恒定的统计特性，我们可以假设序列是平稳的，即：

稳定的平均值稳定的方差不依赖于时间的自协方差

平稳时间序列粗略地讲，一个时间序列，如果均值没有系统的变化（无趋势）、方差没有系统变化，且严格消除了周期性变化，就称之是平稳的。

平稳性检验方法介绍

1）绘图法

绘制移动平均值或移动变量，并查看其是否随时间变化。移动平均/方差，我们的意思是在任何时刻t，我们将取去年的平均/方差，即过去12个月。不过，这更像是一种视觉技术

2）Dickey-Fuller test

迪基-福勒检验（Dickey-Fuller test）：检验平稳性的统计检验。这里的零假设是TS是非平稳的。测试结果包括一个测试统计量和一些不同置信水平的临界值。如果“检验统计量”小于临界值，我们可以拒绝无效假设，并认为序列是平稳的。

3）ADF检验

增广迪基-福勒检验（Augmented Dickey-Fuller test），简称ADF检验。 ADF检验和迪基-福勒检验类似，但ADF检验的好处在于它排除了自相关的影响。DF检验只能应用于一阶情况，当序列存在高阶的滞后相关时，可以使用ADF检验，所以说ADF是对DF检验的扩展。

单位根

当一个自回归过程中： y t = b y t − 1 + a + ϵ t y_{t} = by_{t-1} + a + epsilon _{t} yt=byt−1+a+ϵt ，如果滞后项系数b为1，就称为单位根。当单位根存在时，自变量和因变量之间的关系具有欺骗性，因为残差序列的任何误差都不会随着样本量（即时期数）增大而衰减，也就是说模型中的残差的影响是永久的。这种回归又称作伪回归。如果单位根存在，这个过程就是一个随机漫步（random walk）。

ADF原理

ADF检验就是判断序列是否存在单位根：如果序列平稳，就不存在单位根；否则，就会存在单位根。

H0原假设：序列有单位根（值a=1）备择假设：序列没有单位根

如果我们不能拒绝零，我们可以说序列是非平稳的，这意味着序列可以是线性或差分平稳的

如果得到的显著性检验统计量小于三个置信度（10%，5%，1%），则对应有（90%，95，99%）的把握来拒绝原假设。

4） KPSS 检验

KPSS测试，(Kwiatkowski-phillips-schmidt-Shin Test）
不如ADF方法流行。KPSS检验的原假设和备择假设与ADF检验相反。

ADF VS KPSS：两个测试的结果可能相反，是因为不只有一种平稳性。其实存在不止一种类型的平稳性。总之，ADF检验有一个线性或差分平稳的替代假设，KPSS检验确定了序列中的趋势平稳性。

平稳性的类型

严格平稳序列：严格平稳序列满足平稳过程的数学定义。对于严格平稳序列，均值、方差和协方差不是时间的函数。其目的是将一个非平稳序列转换成一个严格的平稳序列来进行预测。趋势平稳序列：没有单位根但表现出趋势的序列被称为尾部平稳序列。一旦趋势被消除，结果序列将保持稳定。KPSS检验在没有单位根的情况下将序列划分为平稳序列，这意味着序列可以是严格平稳的，也可以是趋势平稳的。差分平稳性：在差分平稳性ADF检验下，通过差分下降可以使序列严格平稳的时间序列也被称为差分平稳性检验。

差分平稳ADF检验又称差分平稳性检验，最好同时应用这两种检验方法，这样我们就可以确定序列确实是平稳的。让我们看看应用这些平稳测试的可能结果。

案例1：两个测试都得出序列不稳定->序列不平稳案例2:两个测试都得出序列是平稳的->序列是平稳的案例3:KPSS=平稳的，ADF=不是平稳->趋势平稳，删除趋势使序列严格平稳情况4:KPSS=非平稳且ADF平稳->差分平稳，使用差分使序列平稳