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使用PCA对Iris数据集进行降维和二维分类显示

花匠小妙招
2025-05-03 14:14

在数据科学和机器学习领域中，主成分分析（PCA）是一种常用的降维技术，它的目的是通过线性变换将可能相关联的原始变量转换为一组线性不相关的变量，这些新变量被称为主成分。这些主成分按照方差的大小顺序排列，第一个主成分拥有最大的方差，第二个主成分拥有第二大的方差，以此类推。这样，数据的大部分信息都被集中在前面的几个主成分中，从而达到降维的目的。要理解PCA降维显示，首先需要了解Iris（鸢尾花）数据集。Iris数据集是由Fisher在1936年整理的一个关于鸢尾属植物的数据集，它包含了150个样本，每个样本有4个特征（萼片长度、萼片宽度、花瓣长度、花瓣宽度）和一个类别标签（3种不同的鸢尾花）。由于这个数据集特征数量少，类别明确，因此常常被用来作为分类和聚类分析的示例。当对Iris数据集进行PCA降维显示时，主要的操作步骤如下： 1. 数据准备：首先需要将Iris数据集导入到分析环境。通常情况下，数据集会以表格形式存在，每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。 2. 数据预处理：在进行PCA之前，通常需要对数据进行标准化处理，以消除不同特征量纲的影响。标准化通常采用Z分数标准化，即将数据减去其均值后除以其标准差。 3. 协方差分析：PCA的基础是协方差矩阵。通过计算标准化后数据的协方差矩阵，可以了解不同特征之间的相关性。协方差矩阵是一个对称矩阵，其对角线上的元素是各个特征的方差，非对角线上的元素是对应两个特征的协方差。 4. 计算主成分：PCA的主要计算步骤是求解协方差矩阵的特征值和特征向量。特征值代表了每个主成分的方差，特征向量决定了主成分的方向。特征值越大，对应特征向量的主成分就越重要。 5. 选择主成分：通常情况下，我们会选择方差最大的前几个主成分进行降维。这是因为在PCA中，我们希望在减少数据集维度的同时尽可能保留原始数据集中的信息。通常会有一个“解释方差比”阈值来决定保留的主成分数量。 6. 二维显示：在将原始的四维数据降至二维时，只需选择最大的两个特征值对应的特征向量，将每个样本的特征向这两个向量投影，得到两个新的主成分值，然后在这两个主成分构成的二维空间中对样本进行可视化。这样，我们就可以直观地看到不同类别鸢尾花的分布情况。 7. 分类分析：通过二维显示，如果降维效果好，不同类别的鸢尾花会在二维平面上有较好的区分度。这为后续的分类分析提供了便利。在Python的Scikit-learn库中，可以简单地通过一行代码调用PCA函数并进行上述所有步骤，其中`n_components=2`参数即指定了我们希望将数据降至二维。例如： ```python from sklearn.decomposition import PCA from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn import datasets import matplotlib.pyplot as plt # 导入Iris数据集 iris = datasets.load_iris() X = iris.data y = iris.target # 数据标准化 scaler = StandardScaler() X_std = scaler.fit_transform(X) # PCA降维 pca = PCA(n_components=2) X_pca = pca.fit_transform(X_std) # 可视化结果 plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=y) plt.xlabel('Principal Component 1') plt.ylabel('Principal Component 2') plt.show() ``` 上述代码将输出一个散点图，展示了按照前两个主成分降维后的Iris数据集的二维可视化结果。在这个图中，我们通常可以看到三种鸢尾花按照类别被较好地区分开来，这表明PCA降维不仅减少了数据的维度，而且保留了区分不同类别的关键信息。