折纸，从传统艺术到工程实践

• 花匠小妙招
• 2025-05-08 15:45

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一般都认为折纸这一历史悠久的艺术源自于中国。而直到 20 世纪 80 年代，人们才开始将折纸作为数学问题进行研究。一个折纸作品一旦被展开就体现为一张纸片上的若干折痕，且这些折痕满足某些特定的数学性质。

折纸艺术有两个较为显著的特性：结构合理性和形状可变性。折纸可以很容易地将本来柔软的纸材变成拥有一定刚度的结构，这一点奠定了其应用于结构领域的基础。利用折纸结构形状可变的特点，东京大学发明了一种三浦折叠法，成功解决了太阳能电池的展开问题，如今这种折叠方法被广泛应用于各种生产领域，甚至包括轮胎的胎纹设计。另外，折纸艺术还可以用于医疗卫生行业当中，例如，牛津大学发明了一种人造血管支架，完全折叠时体积减小到可以放入血管支架，到达一定位置后展开成一段人造血管支架。由此可见，折纸艺术在很多领域内都能发挥自己的用途。通过奇思妙想，将折纸的思想运用到折叠结构中，实现结构的折叠与展开，对于人类的科技发展和进步具有重要意义。

工程应用中常见的折纸基本单元包括四折痕折纸单元、六折痕折纸单元和组合折痕折纸单元。这些采用不同折痕图的折纸单元具有各自独特的几何与物理性质，在多个工程领域中得到应用。

材料科学领域的应用

研究人员提出将折纸单元形成人造蜂窝材料。Cheung等研究了如下图所示的基于 Miura 单元的正交异性蜂窝材料。由于具备了 Miura 单元平面内两个方向可同时变形的性质，该材料可在平面内的X和Y方向自由压缩和展开，同时在Z方向具备刚度。Cheung 等通过试验测得了这种正交异性蜂窝材料在荷载作用下的性质，给出了各方向相对弹性模量和相对密度的关系。

基于 Miura 单元的正交异性蜂窝材料

航空航天领域的应用

太阳能电池阵

在未来的太空探索中，太阳能电池阵不仅可以为航天器提供动力，而且可以收集太阳能并将其传送回地球。基于 Miura 折纸的可折叠太阳能电池阵是完成这一设想的有效方案。由于 Miura 折纸具有两个正交方向可以同时收缩和展开的特点，使得电池阵易于回收，并且 Miura 折纸的折叠和展开均是单自由度的，太阳能电池阵的尺寸可以进一步放大且无须担心展开时的自由度控制问题。

基于 Miura 折纸单元的可折叠平面太阳能

电池阵结构

基于 HanaFlex 折痕图的太阳能电池阵列模型

电子与机械领域的应用

可变形电池

可变形电池是指可以承受较大拉伸和弯曲变形的新型锂电池。该类电池结构能够承受在变形时产生的应变而不发生损坏。基于 Miura 折纸单元的可变形电池相较于其他可变形电池而言，有更好的机动性能和更高的能量密度，是一种理想的可变形锂离子电池(lithium-ion battery，LIB)。下图所示为传统的可变形电池和基于 Miura 折纸单元的可变形电池。

可变形电池

能量吸收与耗散领域的应用

作为吸能材料

Yasuda 等提出了基于 TMP 单元的吸能材料，如下图所示。在若干层 TMP单元之间加入刚性隔离层，形成类蜂窝板承压结构。

基于 TMP 单元的吸能材料

通过建立单连杆模型进行受压分析，可以进一步了解这种材料的吸能性质，如下图所示。

单连杆模型受压分析

生物医学领域的应用

采用食人花折纸单元

食人花折纸单元可以用来设计手术专用镊子等精密工具。Edmondson 等设计了下图所示的手术镊子。该类工具既可以用于常规手术，也可以用于精密复杂的微创手术，其优势在于减少了生产零件、便于组装和易于杀菌等。

基于食人花折纸单元设计的手术镊子

建筑与结构工程领域的应用

1 提高结构刚度及抗冲击作用

在生活中人们可以观察到如下现象：简单弯折的纸张可以支撑远大于纸重量的物品。这是由于通过折叠，平坦柔软的纸张在未增加质量的情况下会形成结构，具备了刚度，从而可以承担更大的荷载。简而言之，折叠可以使纸张具备刚度。

利用折纸构型在不增加材料的情况下设计出具备一定刚度的结构体系，如下图所示。该结构既提高了结构刚度，又降低了屋盖自重，同时造型美观新颖。

基于六折痕折纸构型的屋盖结构

2 满足建筑造型设计的要求

折纸单元形成的造型具有规则、对称的美感，且富于韵律的变化。这一优点为建筑师广泛采用，利用其进行建筑的顶篷、立面和节点的设计。下图(a)所示为英国建筑师 Moussavi 设计的横滨国际客运中心，该建筑的顶篷采用Yoshimura 折痕设计，新颖别致。

（a）采用六折痕折纸构型设计的横滨国际客运中心

顶篷

（b）采用六折痕折纸构型的波梅齐亚硫黄萃取

工厂顶篷

采用六折痕单元设计建筑顶篷

3 设计可展开结构

利用六折痕折纸单元在圆管轴向可收缩的特点，工程师设计了大量可随时收纳、重建和改变造型的可展开结构形式。例如，在应对自然灾害造成的居住困难问题时，基于折纸板的可展开帐篷有着较广泛的应用。

（a）展开过程

（b）比例示意图

基于Yoshimura折纸单元的圆形穹顶

及其展开过程

光学领域的应用

设计特斯拉光学结构

在光学领域，Miura 折纸单元同样有广泛的应用。工程师利用折纸单元在折痕与平面处不同的光影效果，设计出多种美观且富有创意的照明灯具。例如，在人机界面交流领域，Cheng 等采用 Miura 折纸单元设计了特斯拉光学结构，如下图(a)所示。

（a）特斯拉光学结构

（b）结构内部构造

基于 Miura 折纸单元的特斯拉光学结构

声学领域的应用

利用折纸单元可以建造具有革命性的声音系统——谐振室。Geoffrey 等采用刚性折纸单元建造的谐振室如下图所示。该结构一方面可以通过调节单元面板来改变环境的声场效果；另一方面由于具有刚性可动性，在振动条件下，结构不会产生拉应力和压应力。该结构多应用于影院、剧院或其他集会场所等。

基于 Waterbomb 折纸单元的谐振室面板

本文摘编自《基于折纸元素的可展开结构形态与性能研究》一书第2章部分，内容有删减改动，标题为编者所加。

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基于折纸元素的可展开结构形态与性能研究

蔡建国，李萌，冯健 著

北京：科学出版社，2021.3

ISBN 978-7-03-067717-4

责任编辑：周 炜

作

者

简

介

蔡建国，东南大学青年首席教授，博士生导师。国家预应力工程技术研究中心副主任、国家一级注册结构工程师、中国空间技术研究院兼职博士生导师、钱学森空间技术实验室兼职研究员。兼任中国力学学会结构工程专业委员会委员、中国建筑学会建筑结构抗倒塌专业委员会委员、中国机械工程学会空间机构分会委员等职务。长期从事可展与折叠结构的研究。主持国家重点研发计划课题、国家自然科学基金优秀青年科学基金项目、载人航天领域第四批预先研究项目、航空科学基金、江苏省自然科学基金优秀青年基金项目、江苏省“六大人才高峰”高层次人才选拔培养计划资助项目、教育部博士点基金等。研究成果发表论文100余篇，其中SCI收录70余篇，授权发明专利89项，出版专著3部。荣获教育部科学技术进步奖二等奖、中国钢结构协会科学技术奖二等奖、东南大学青年五四奖章、仲英青年学者、华英学者等奖励和荣誉称号。

内容简介

本书结合折纸的艺术背景和数理基础，根据作者科研团队近年来在折纸理论、可展开结构等领域的研究进展，汲取国内外相关学科的最新研究成果，介绍了基于折纸元素的可展开结构在形态与性能方面的理论基础、设计方法和工程应用。主要内容包括基于平面连杆机构的折叠板开合屋盖结构，基于球面连杆机构的折叠板结构，基于 Miura 折纸的径向展开结构，基于 Miura 折纸、六折痕折纸的柱面壳结构，基于折纸元素的曲面顶篷结构，基于折纸理论的折叠板壳结构展开动力学分析和仿真方法、折纸方法在缓冲吸能领域的应用及其仿真建模分析方法等。

本书目录

前言

第1章　折纸的起源与数理基础1

1.1　折纸的起源1

1.2　现代折纸艺术之父吉泽章3

1.2.1　吉泽章生平3

1.2.2　吉泽章折纸语言4

1.3　折纸的数理基础5

1.3.1　折纸公理6

1.3.2　平面可折叠条件8

1.3.3　刚性折叠的概念9

1.4　基本单元的概念9

1.5　多面体展开与折叠方法11

1.5.1　多面体展开11

1.5.2　折叠方法12

参考文献13

第2章　经典折纸单元及其工程应用14

2.1　经典折纸单元14

2.1.1　四折痕折纸单元14

2.1.2　六折痕折纸单元19

2.1.3　组合折痕折纸单元26

2.2　工程应用27

2.2.1　材料科学领域的应用27

2.2.2　航空航天领域的应用28

2.2.3　电子与机械领域的应用31

2.2.4　能量吸收与耗散领域的应用36

2.2.5　生物医学领域的应用40

2.2.6　建筑与结构工程领域的应用42

2.2.7　光学领域的应用47

2.2.8　声学领域的应用49

2.2.9　流行文化领域的应用49

参考文献51

第3章　基于平面四连杆机构折叠板开合屋盖体系研究54

3.1　基于柱铰的折叠板壳体系55

3.1.1　概念分析55

3.1.2　几何分析56

3.2　基于滚动铰的折叠板壳体系的设计58

3.2.1　概念分析58

3.2.2　滚动铰连接的平面四连杆机构61

3.2.3　自由度分析62

3.2.4　运动过程模拟63

3.3　基于滚动铰的折叠板壳体系的几何分析64

3.3.1　闭合方程64

3.3.2　具有相等连杆长度的平面四连杆机构65

3.3.3　具有不等连杆长度的平面四连杆机构66

3.4　本章小结68

参考文献69

第4章　基于球面四连杆机构折叠板结构的几何与模型试验研究71

4.1　理论基础71

4.1.1　闭合方程71

4.1.2　几何分析73

4.2　滚动铰连接的球面机构分析78

4.2.1　球面四连杆机构78

4.2.2　开合屋盖体系81

4.3　模型制作83

4.3.1　不考虑连接方式的模型制作83

4.3.2　滚动节点连接的模型制作85

4.4　本章小结88

参考文献88

第5章　基于Miura折纸模型的径向展开结构研究90

5.1　Miura折纸模型的仿生学意义91

5.2　平面径向展开体系92

5.2.1　向内组合体系92

5.2.2　向外组合体系96

5.3　空间径向展开体系97

5.3.1　几何分析97

5.3.2　几何设计97

5.4　刚性可动性判断106

5.4.1　平面正交向内组合体系106

5.4.2　平面斜交向内组合体系107

5.4.3　空间正交向内组合体系110

5.4.4　空间斜交向内组合体系112

5.4.5　向外组合体系113

5.5　本章小结114

参考文献115

第6章　基于改进Miura折纸模型的柱面壳结构研究116

6.1　改进Miura折纸模型117

6.1.1　变角度Miura折纸模型117

6.1.2　变长度Miura折纸模型118

6.2　Miura折纸单元几何关系分析120

6.2.1　几何描述120

6.2.2　Miura折纸模型的角度关系121

6.3　变角度Miura折纸模型几何分析125

6.3.1　公式推导125

6.3.2　基本模型几何分析129

6.3.3　参数分析132

6.4　变长度Miura折纸模型几何分析135

6.4.1　公式推导135

6.4.2　基本模型几何分析140

6.4.3　参数分析143

6.5　本章小结148

参考文献149

第7章　基于六折痕单元柱面壳结构研究150

7.1　经典六折痕单元的几何设计150

7.1.1　几何描述150

7.1.2　顶角的投影分析151

7.2　柱面壳结构的几何分析152

7.2.1　几何构成152

7.2.2　几何设计153

7.2.3　参数分析156

7.2.4　运动界线160

7.3　基于不规则六折痕单元柱面壳结构的几何设计162

7.4　自由度分析165

7.5　本章小结167

参考文献168

第8章　折纸型曲面顶篷结构研究169

8.1　建筑顶篷结构设计方案169

8.2　基于变角度Miura折纸单元的旋转曲面设计170

8.2.1　旋转曲面的几何设计170

8.2.2　旋转曲面几何参数分析172

8.3　顶篷曲面几何设计175

8.3.1　双曲面构型设计175

8.3.2　几何相容性研究177

8.4　本章小结178

参考文献179

第9章　折叠板壳结构展开动力学分析方法研究180

9.1　动力学普遍方程180

9.2　第一类拉格朗日方程181

9.3　基本板单元几何描述183

9.4　质量矩阵187

9.5　微分方程组的求解189

9.6　程序编制193

9.7　算例分析195

9.8　本章小结200

参考文献201

第10章　折叠板壳结构动力学数值仿真分析202

10.1　刚性可展的判定条件202

10.2　变角度Miura模型动力学仿真分析205

10.3　本章小结209

参考文献210

第11章　折纸方法在缓冲吸能领域的应用211

11.1　缓冲装置分类及应用211

11.2　金属蜂窝缓冲装置缓冲特性213

11.3　预折叠蜂窝结构设计215

11.4　预折叠蜂窝结构力学分析219

11.5　预折叠蜂窝结构耐撞性设计226

11.6　本章小结235

参考文献235

第12章　预折叠蜂窝结构冲击仿真建模与分析236

12.1　仿真建模236

12.2　网格划分与边界条件加载243

12.3　设置仿真分析参数248

12.4　分析求解及后处理249

12.5　本章小结251

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