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NOIP2013 花匠题解（方法全面）

花匠小妙招
2024-11-13 04:26

2．花匠

(flower.cpp/c/pas)

【问题描述】

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。

具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数ℎ1, ℎ2, … , ℎn。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g1,g2,… , gm，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：

条件 A：对于所有的1≤i≤，有g2i >g2i-1，同时对于所有的1≤i≤，有g2i >g2i+1；

条件 B：对于所有的1≤i≤，有g2i < g2i-1，同时对于所有的1≤i≤，有g2i <g2i+1。

注意上面两个条件在 m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。

请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

【输入】

输入文件为 flower.in。

输入的第一行包含一个整数，表示开始时花的株数。

第二行包含个整数，依次为ℎ1, ℎ2, … , ℎn，表示每株花的高度。

【输出】

输出文件为 flower.out。

输出一行，包含一个整数，表示最多能留在原地的花的株数。

【输入输出样例】

flower.in

flower.out

5 3 2 1 2

【输入输出样例说明】

有多种方法可以正好保留 3 株花，例如，留下第 1、4、5 株，高度分别为 5、1、2，满足条件 B。

【数据范围】

对于 20%的数据，n ≤ 10；

对于 30%的数据，n ≤ 25；

对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ ℎn≤ 1000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ ℎn≤ 1,000,000，所有的ℎn随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

解一

动态规划

运用如下状态转移方程

1、令S[i][1]表示以i为结尾，且降序到达a[i]的最长抖动序列长度；令S[i][0]表示以i为结尾，且升序到达a[i]的最长抖动序列长度。则有如下递推公式：

S[i+1][1]=max(S[j][0])+1,i>=j>=1,a[j]>a[i+1],

S[i+1][0]=max(S[j][1])+1,i>=j>=1,a[j]<a[i+1],

S[1][1]=S[1][0]=1。

则最终答案应该是max(S[n][1],S[n][0])。

进一步有优化得：

（1）h[i+1]>ha[i]:

S[i+1,0]=max(S[i,1]+1，S[i,0]);

S[i+1,1]=S[i,1];

（2）h[i+1]<ha[i]:

S[i+1,0]=S[i,0];

S[i+1,1]=max(S[i,0]+1,S[i,1]);

（3）h[i+1]=h[i]:

S[i+1,0]=S[i,0];

S[i+1,1]=S[i,1];

S[1,0]=S[1,1]=1.

转移方程也可做如下分析：

一看这种数据规模，至多是的算法。本题又和序列有关，所以要考虑如何用dp的方法解这道题。
用表示第i株花的高度。
仔细分析，发现本题的条件A和条件B在时绝对不能同时满足，而且一个合法的序列必定是一个波动序列。我们用表示第i株花作为序列终点且这株花满足条件A时的最多剩下的株数，表示第i株花作为序列终点且这株花满足条件B时的最多剩下的株数，可以得到：