不定积分(x-y)dx=(x+y)dy的计算步骤

• 花匠小妙招
• 2024-11-13 05:19

主要内容：

通过换元法及可分离变量积分法，介绍不定积分(x-y)dx=(x+y)dy的计算步骤。

主要步骤：

(x-y)dx=(x+y)dy，方程变形为：

dy/dx=(x-y)/(x+y)，右边分子分母同时除以x，

dy/dx=[1-1(y/x)]/[1+1(y/x)]，设y/x=u,即y=xu，求导为dy=udx+xdu,

则：dy/dx=u+xdu/dx，代入所求表达式有：

dy/dx=u+xdu/dx=(1-u)/(1+u)，方程继续变形为，

xdu/dx=(1-u-u-u^2)/(1+u),

(1+u)du/(u^2+2u-1)=-dx/x，两边同时积分有：

∫(1+u)du/(u^2+2u-1)=-∫dx/x，左边对不定积分凑分有，

(1/2)∫(2u+2)du/(u^2+2u-1)=-∫dx/x,

∫(2u+2)du/(u^2+2u-1)=-2∫dx/x,

∫d[du^2+2u-1]/(u^2+2u-1)=-2lnx+lnC,

ln|u^2+2u-1|=ln|Cx^(-2)|,

u^2+2u-1=C/x^2,将u=y/x代入有：

y^2/x^2+2y/x-1=C/x^2,

y^2+2xy-x^2=C,即为本题不定方程的通解。

相关知识

已知f(x-y)=f(x)-f(y),f(1)=1,求f(2)值
求由 =0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx。
已知y=xsin3x,则dy=()。
∫10f(x)dx∫10g(x)dx=∫10f(x)g(x)dx
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若y=1+cosx，则dy= （ ）
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