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菜肴制作「拓扑排序」

花匠小妙招
2024-12-15 00:07

题目描述

知名美食家小 A被邀请至ATM 大酒店，为其品评菜肴。 ATM 酒店为小 A 准备了 N 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予1到N的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为1。

由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 M 条形如”i 号菜肴'必须'先于 j 号菜肴制作“的限制，我们将这样的限制简写为<i,j>。

现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A能尽量先吃到质量高的菜肴：

也就是说，

(1)在满足所有限制的前提下，1 号菜肴”尽量“优先制作；

(2)在满足所有限制，1号菜肴”尽量“优先制作的前提下，2号菜肴”尽量“优先制作；

(3)在满足所有限制，1号和2号菜肴”尽量“优先的前提下，3号菜肴”尽量“优先制作

；(4)在满足所有限制，1 号和 2 号和 3 号菜肴”尽量“优先的前提下，4 号菜肴”尽量“优先制作；

(5)以此类推。

例1：共4 道菜肴，两条限制<3,1>、<4,1>，那么制作顺序是 3,4,1,2。

例2：共5道菜肴，两条限制<5,2>、 <4,3>，那么制作顺序是 1,5,2,4,3。

例1里，首先考虑 1，因为有限制<3,1>和<4,1>，所以只有制作完 3 和 4 后才能制作 1，而根据(3)，3 号又应”尽量“比 4 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 3,4,1；接下来考虑2，确定最终的制作顺序是 3,4,1,2。

例 2里，首先制作 1是不违背限制的；接下来考虑 2 时有<5,2>的限制，所以接下来先制作 5 再制作 2；接下来考虑 3 时有<4,3>的限制，所以接下来先制作 4再制作 3，从而最终的顺序是 1,5,2,4,3。现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出”Impossible!“ （不含引号，首字母大写，其余字母小写）

输入格式

第一行是一个正整数D，表示数据组数。接下来是D组数据。对于每组数据：第一行两个用空格分开的正整数N和M，分别表示菜肴数目和制作顺序限制的条目数。接下来M行，每行两个正整数x,y，表示”x号菜肴必须先于y号菜肴制作“的限制。（注意：M条限制中可能存在完全相同的限制）

输出格式

输出文件仅包含 D 行，每行 N 个整数，表示最优的菜肴制作顺序，或者“Impossible!“表示无解（不含引号）。

输入输出样例

输入 #1

3 5 4 5 4 5 3 4 2 3 2 3 3 1 2 2 3 3 1 5 2 5 2 4 3 输出 #1

1 5 3 4 2 Impossible! 1 5 2 4 3

说明/提示

【样例解释】

第二组数据同时要求菜肴1先于菜肴2制作，菜肴2先于菜肴3制作，菜肴3先于

菜肴1制作，而这是无论如何也不可能满足的，从而导致无解。

100%" role="presentation">100% 的数据满足 N,M<=100000" role="presentation">N,M<=100000,D<=3" role="presentation">D<=3。

思路分析

首先要处理这么多限制条件的话，因为会形成一个 DAG" role="presentation">DAG ，所以用拓扑排序处理是再方便不过的了。关键在于除了限制条件以外的要求如何同时满足。如果直接通过拓扑排序求出字典序最小的答案，那么很有可能会出现与题目要求相悖的情况。比如@xyz32768 大佬举出的反例：4" role="presentation">4 种菜肴，限制为<2,4><3,1>" role="presentation"><2,4><3,1>，那么字典序最小的是2,3,1,4" role="presentation">2,3,1,4，但题目要求的最优解是3,1,2,4" role="presentation">3,1,2,4。因为 1" role="presentation">1 要尽量靠前。所以正着处理似乎不大可做。不妨换一种思路——让编号大的在满足限制条件的同时尽量靠后，在这种情况下，我们就可以间接让编号比其小的尽量靠前，也就满足了题目的要求。对于每个限制条件建反向边，在反图上跑拓扑排序求出最大的字典序就好了

Code" role="presentation">Code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<queue> #define N 100010 #define R register using namespace std; inline int read(){int x =0,f = 1;char ch = getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f; } int n,m,in[N],ans[N],tot,head[N]; struct edge{int to,next; }e[N]; int len; void addedge(int u,int v){e[++len].to = v;e[len].next = head[u];head[u] = len; } void Init(){tot = len = 0;memset(head,0,sizeof(head));memset(in,0,sizeof(in)); } priority_queue<int>q;//把队列改成优先队列，这样可以保证字典序最大 int main(){int t = read();while(t--){Init();n = read(),m = read();bool flag = 0;for(R int i = 1;i <= m;i++){int x = read(),y = read();addedge(y,x);in[x]++;if(x==y){flag=1;break;}//自环无解}if(flag){puts("Impossible!");continue;}for(R int i = 1;i <= n;i++)if(!in[i])q.push(i);//跑一遍拓扑排序while(!q.empty()){int u = q.top();q.pop();ans[++tot] = u;for(R int i = head[u];i;i = e[i].next){int v = e[i].to;in[v]--;if(!in[v])q.push(v);}}if(tot<n){puts("Impossible!");continue;}//说明有环，无解for(R int i = n;i;i--)printf("%d ",ans[i]);puts("");}return 0; }