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P7984 [USACO21DEC] Tickets P 解题报告

花匠小妙招
2025-07-15 06:07

解题报告：P7984 [USACO21DEC] Tickets P

这是一份关于 USACO 铂金组题目 "Tickets" 的解题报告。这道题综合考察了图论建模、最短路算法以及数据结构优化，是一道非常经典的难题。下面我将带你一步步拆解这道题。

1. 问题分析与理解

首先，我们来弄清楚题目到底要我们做什么。

目标： 对于每一个检查点 i（从 1 到 N），假设我们一开始只能进入检查点 i，问我们至少要花多少钱，才能获得进入检查点 1 和 N 的能力。 核心机制： 买票： 我们可以在某个检查点 c 花费 p 元钱，买到一张票。 解锁： 这张票能让我们进入 [a, b] 区间内的所有检查点。 自由移动： 一旦一个检查点被解锁，我们就可以在所有已解锁的检查点之间免费、随时来回穿梭。

最后这个“自由移动”的规则是关键！它告诉我们，所有我们能进入的检查点，实际上构成了一个连通的整体。我们的目标，就是花最少的钱，把起点 i、终点 1 和 N 都连通起来。

2. 核心思路：从图论建模到“三次最短路”

一看到“连通”、“最小花费”，我们很自然地会想到图论中的最短路问题。

2.1. 建立图模型

我们可以把问题抽象成一个图：

节点：

N 个检查点节点，代表检查点 1 到 N。 K 个票据节点，代表 K 张可以购买的票。

边：

买票过程： 要买第 i 张票，我们必须先到达检查点 c_i。这个过程可以看作是从检查点 c_i 连向票据节点 i 的一条有向边，边权为票价 p_i。 解锁过程： 买了第 i 张票后，我们就能进入 [a_i, b_i] 区间的所有检查点了。这可以看作是从票据节点 i 连向区间内所有检查点节点的有向边，因为这个过程不花钱，所以边权为 0。

在这个图里，从一个起点 i 出发，走到节点 1 和节点 N 的总花费，就是我们要求的答案吗？

2.2. 发现问题：简单的相加是错误的

如果我们分别计算从起点 i 到 1 的最短路 dist(i, 1) 和到 N 的最短路 dist(i, N)，然后简单地把它们相加，就会出问题。

举个例子： 假设从 i 到 1 和从 i 到 N 的最短路径上，都用到了同一张票。如果直接相加，这张票的钱就被计算了两次！但实际上我们只需要买一次。

2.3. 正确的思路：三次最短路

如何解决重复计算的问题呢？我们可以换个角度思考。我们的最终目的是让 1 和 N 都被连通。这意味着，我们购买的一系列票，必须能同时覆盖到 1 和 N。

我们可以把问题分解成两部分：

从 1 开始，为了能到达图中的任意一个节点 u，最少要花多少钱？我们称之为 d1[u]。从 N 开始，为了能到达图中的任意一个节点 u，最少要花多少钱？我们称之为 dn[u]。

d1[u] 和 dn[u] 可以通过两次 Dijkstra 最短路算法求出。具体来说：

第一次 Dijkstra: 以节点 1 为源点，在反图上跑一遍 Dijkstra，得到所有点到 1 的最短路 d1。 第二次 Dijkstra: 以节点 N 为源点，在反图上跑一遍 Dijkstra，得到所有点到 N 的最短路 dn。

小提示： 为什么要跑反图？因为 Dijkstra 求的是从源点出发到所有点的最短路。而我们想求的是“从所有点到达源点”的最短路，这等价于在反图上从源点出发。

现在，对于任何一个节点 i，d1[i] + dn[i] 就是一个初步的答案。它代表了“买一些票把 i 连到 1”和“买另一些票把 i 连到 N”的费用总和。但这仍然可能重复计算了公共路径上的票价。

最关键的一步来了：
我们设一个新数组 dis[u] = d1[u] + dn[u]。这个 dis 数组可以看作是“让节点 u 同时连通 1 和 N 的初始代价”。
考虑图中的一条边 u -> v，边权为 w。如果我们已经知道了让 u 连通 1 和 N 的最小代价 dis[u]，那么我们也可以通过先到达 u，再通过这条边到达 v，从而让 v 也连通 1 和 N。这样做的总代价是 dis[u] + w。
这启发我们，可以用 dis[u] + w 来更新 dis[v]，即 dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w)。

这不就是 Dijkstra 算法中的松弛操作吗？

所以，我们的最终解法是：

第一次Dijkstra： 在反图上，以 1 为源点，求出 d1 数组。 第二次Dijkstra： 在反图上，以 N 为源点，求出 dn 数组。 第三次Dijkstra： 在原图上，以 dis[u] = d1[u] + dn[u]作为初始距离，再跑一遍 Dijkstra。最终得到的 dis 数组，就是每个点 i 的最终答案。

这个三次 Dijkstra 的方法，巧妙地通过第三次松弛，将所有路径上的花费正确地合并，解决了重复计算的问题。

3. 性能优化：如何处理海量边

上述思路虽然正确，但还有一个巨大的性能瓶颈。在我们的图模型中，一张票可能会解锁一个很大的区间 [a, b]，这意味着一个票据节点要向 O(N) 个检查点节点连边。K 张票就可能产生 O(NK) 条边，这在 N, K 都是 10^5 的数据范围下是无法接受的。

这里我们介绍两种优化建图/优化过程的方法。

3.1. 解法一：线段树优化建图

这是处理“区间连边”问题的经典技巧。

思想： 用一个线段树来管理所有的检查点节点。线段树的每个节点代表一个区间。 建图： 建两棵线段树，一棵“入树”，一棵“出树”。“出树”中父节点向子节点连边，“入树”中子节点向父节点连边。叶子节点则与真实的检查点节点相连。当一张票 i 需要从票据节点连向区间 [a_i, b_i] 时，我们不再逐个连接，而是将它连接到线段树上代表这个区间的 O(log N) 个节点上。 效果： 通过线段树这个“中介”，我们将 O(NK) 的边数优化到了 O(K log N)。这样，整个图的点数和边数都在可控范围内，再跑三次 Dijkstra 就没问题了。 复杂度： 大约为 O(K log N log K)，足以通过本题。题解中的第一份代码就是这个思路的实现。 3.2. 解法二：势能线段树（Dijkstra 过程优化）

这是更高级、更高效的做法，它甚至不显式地把图建出来，而是在 Dijkstra 算法的执行过程中动态地寻找需要更新的节点。

思想： 核心思想是在 Dijkstra 的过程中，高效地找到当前节点 u 能“激活”哪些票。一张票 i（覆盖 [a_i, b_i]）被 u 激活的条件是 a_i <= u <= b_i。 实现： 将所有票按左端点 a_i 排序。建一棵线段树，维护的是票的集合。线段树的每个节点存储它所管辖区间内所有票的右端点 b_i 的最大值。当 Dijkstra 算法从优先队列中取出检查点 u 时，我们去线段树上查询。查询所有满足 a_i <= u 且 b_i >= u 的票。 势能/均摊分析： 查询时，如果一个线段树节点的 max(b_i) 都小于 u，说明这个区间内所有票都无法覆盖 u，直接剪枝。当我们找到一张可用的票后，就将它从线段树中“删除”（例如，将其 b_i 设为-1）。因为每张票在一次 Dijkstra 中最多被激活并处理一次，所以总的查询和删除操作是均摊高效的。 效果： 这种方法避免了复杂的建图，直接在算法流程中集成了数据结构，效率更高。 复杂度： O((N+K) log K)，是目前最优的解法。题解中第二份代码（Benq的思路）就是这种实现。

4. 总结

回顾整个解题过程：

图论建模： 将问题转化为图，但发现简单的最短路相加会导致重复计算。 核心算法： 提出“三次Dijkstra”的精妙构思，通过两次反图预处理和一次正图松弛，完美解决了费用合并问题。 性能优化： 针对暴力建图的瓶颈，使用线段树优化建图或势能线段树等高级数据结构，将复杂度降低到可以通过的水平。

这道题是一次从问题建模到算法设计，再到性能优化的完整体验，希望这份报告能帮助你更好地理解其中的奥妙！