首页 > 分享 > 苏州市举办“广电狂欢购物节促销活动.某厂商拟投入适当的广告费.对所售产品进行促销.经调查测算.该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用 x万元满足p=3

苏州市举办“广电狂欢购物节促销活动.某厂商拟投入适当的广告费.对所售产品进行促销.经调查测算.该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用 x万元满足p=3

花匠小妙招
2024-12-04 05:57

分析（1）由题意知，y=（4+20p）p−x−（10+2p）" role="presentation">y=（4+20p）p−x−（10+2p），将p=3−2x+1" role="presentation">p=3−2x+1代入化简即可得出．
（2）y′=−（x+3）（x−1）（x+1）2" role="presentation">−（x+3）（x−1）（x+1）2，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答解：（1）由题意知，y=（4+20p）p−x−（10+2p）" role="presentation">y=（4+20p）p−x−（10+2p），将p=3−2x+1" role="presentation">p=3−2x+1代入化简得：y=16−4x+1−x（0≤x≤a）" role="presentation">y=16−4x+1−x（0≤x≤a）．
（2）y′=−1−−4（x+1）2=−（x+1）2+4（x+1）2=−x2+2x−3（x+1）2=−（x+3）（x−1）（x+1）2" role="presentation">y′=−1−−4（x+1）2=−（x+1）2+4（x+1）2=−x2+2x−3（x+1）2=−（x+3）（x−1）（x+1）2．
①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'＞0，所以函数y=16−x−4x+1" role="presentation">y=16−x−4x+1在（0，1）上单调递增；
x∈（1，a）时，y'＜0，所以函数y=16−x−4x+1" role="presentation">y=16−x−4x+1在（1，a）上单调递减，
∴促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大．
②当a＜1时，因为函数y=16−x−4x+1" role="presentation">y=16−x−4x+1在（0，1）上单调递增，y=16−x−4x+1" role="presentation">y=16−x−4x+1在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上所述，当 a≥1时，促销费用投入 1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．

点评本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．