首页 > 分享 > 某校园内有一块三角形绿地AEF.其中AE=20m.AF=10m.∠EAF=$\frac{2π}{3}$.绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观.扇形AMN的两边分别落在AE和AF上.圆弧MN与EF相切于点P．(1)求扇形花卉景观的面积,(2)学校计划2017年年整治校园环境.为美观起见.设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD.其中∠BAD=$\frac{2π}{3} 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

某校园内有一块三角形绿地AEF.其中AE=20m.AF=10m.∠EAF=$\frac{2π}{3}$.绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观.扇形AMN的两边分别落在AE和AF上.圆弧MN与EF相切于点P．(1)求扇形花卉景观的面积,(2)学校计划2017年年整治校园环境.为美观起见.设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD.其中∠BAD=$\frac{2π}{3} 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

花匠小妙招
2024-11-03 15:28

16．某校园内有一块三角形绿地AEF（如图1），其中AE=20m，AF=10m，∠EAF=$frac{2π}{3}$，绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与EF相切于点P．
（1）求扇形花卉景观的面积；
（2）学校计划2017年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD（如图2），其中∠BAD=$frac{2π}{3}$，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都与BD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值．

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分析（1）△AEF中，由余弦定理可得EF，设扇形花卉景观的半径为r，则由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r，即可求扇形花卉景观的面积；
（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=$sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$m，由平行四边形ABCD的面积得8$sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$=$frac{sqrt{3}}{2}$xy，求出xy的最小值，即可得出结论．

解答解：（1）△AEF中，由余弦定理可得EF=$sqrt{400+100-400cosfrac{2π}{3}}$=10$sqrt{7}$m．
设扇形花卉景观的半径为r，则由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r=$frac{200×frac{sqrt{3}}{2}}{10sqrt{7}}$=$frac{10sqrt{21}}{7}$m，
∴扇形花卉景观的面积S=$frac{1}{3}π{r}^{2}$=$frac{100}{7}πc{m}^{2}$；
（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=$sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$m，
由平行四边形ABCD的面积得8$sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$=$frac{sqrt{3}}{2}$xy，
∵$sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$≥$sqrt{2xy+xy}$=$sqrt{3}•sqrt{xy}$，
∴$frac{sqrt{3}}{2}$xy≥8$sqrt{3}$$•sqrt{xy}$，即xy≥256，当且仅当x=y=16时，xy的最小值为256，
∴平行四边形ABCD的面积的最小值为128$sqrt{3}{m}^{2}$．

点评本题考查基本不等式的运用，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．

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