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1 0.99999的悖论

花匠小妙招
2024-12-02 21:05

我们常说1就是1,2就是2，因而1和0.99999的循环，这两个数字是“有差别”的。假设1元钱缺了1毛钱，我们便不能称之为1元钱，那么数字“1”缺少了0.000…001，我们还能说是“1”吗？

在生活中，我们仍然经常听到有人直接将其说等于“1”，这究竟是近似的取舍，还是真得等于“1”呢?下面，我们来逐步了解一下：

“无穷”带来的悖论

“悖论”是英语词paradox的中译，从字面上说，悖论是指违反常识的或荒谬的理论，或自相矛盾的语句或命题。之前的文章中，我们结合芝诺悖论，分析了“兔子永远追不上乌龟”（世界地球日：关注“龟兔之争”引发的思考！）。

他使用混淆概念的手法，赛跑是针对参赛者共同的终点目标而言，而芝诺将终点当做了“会移动的乌龟”，并没有存在龟兔之外的共同目标。

此外，芝诺悖论 (Zeno's Paradox)的四大悖论之一是“两分法”悖论，即“在你穿过一段距离之前，必先穿过这个距离的一半”。简单的说：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等，如此类推。因此，只要他出发了，就永远到不了终点（尽管离终点越来越近），从而引出“无穷”的运动概念。

针对这类数学问题，无以计数的数学家前赴后继探究其存在意义，直到19世纪末，数学家们才对该类无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999…=1的情境。

为什么0.9999…=1？

无限循环数如何相加才能得到一个有限数的和？这是芝诺悖论后又一个困扰着诸多数学家们的难题。

根据上述情形，将放到循环小数里，直觉会告诉你0.999……怎么也不会等于1！光是看就知道0.999……比1小，大家普遍认为0.999……只是不断接近目标，却永远也不会达到。

但是，事实真的如你所料吗？

第一种：

假设：a=0.99999…（等式两边同时乘以10）

得到：10a=9.99999…

10a=9+0.99999…（又因为假设条件）

得到：10a=9+a

9a=9

a=1

如果觉得以上证明过程为“狡辩”的话，那么，我们再来看看下述证明过程：

第二种：

∵1/3=0.33333...

3X0.33333..=0.99999...

3X1/3=1

∴0.99999...=1

实际上，我们知道1/3=0.33333…，2/3=0.66666…，所以1/3+2/3必须等于0.3333…+0.6666…，此时，等式成立为：

1/3+2/3=0.33333…+0.66666…

那么，我们得到的结果就是：

1=0.99999999…

但是，对于这种证明方式，大部分并不认可，因为分数化为小数时是“约等于”的结果，并不意味着等式一定成立。这是数学设定的瑕疵，也是“无穷和极限”设定的漏洞。

第三种：
你用竖式计算1除以1，不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种（涉及极限，拓展了解）：
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，

那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。

由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，

它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，

那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，

此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。两个不同的数竟然相等，虽然有点让人难以置信，但该等式的确成立。

如果你停留在有理数(即分数)的定义，认定0.9999......是有理数，那么0.9999......转化为分数就是1/1，无疑是1。

如果你停留在实数的定义，认定0.9999......是实数，那么0.9999......和1之间不存在其他实数，而且无论是转化为序列表示，还是戴德金分割都是等价的，因此也相等。

通过一个简单的问题，我们人类的大脑从一个感知范围，进入了一个超出我们所能理解的范围。这意味着，在我们有限的感知世界里所得到的真理，往往在无限的层面上将表现得不同。

请各位同学思考以下问题：

诡异的数学题

一天晚上，有三个人去住宾馆，300元一晚。三个人刚好每人掏了100元凑够300元交给了老板。他们回到了房间，老板忘今天打折又还了50元给他们，让服务员送还给他们。服务员想50元钱他们也不好分，自己就拿了20元，三人每人得到10元钱后，应该是每人只花了90元钱住了一晚，3*90=270，服务元拿20元，270+20=290元，请问那10元钱那里去了?

问题:明明三个人是出300元怎么就变成290元了，上面哪一步是错的呢?

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