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[HNOI2015]菜肴制作 [图论基础]

花匠小妙招
2024-12-15 00:14

题目连接

题目描述

知名美食家小A被邀请至ATM 大酒店，为其品评菜肴。 ATM 酒店为小 A 准备了 N 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予1到N的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为1。

由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 M 条形如”i 号菜肴’必须’先于 j 号菜肴制作“的限制，我们将这样的限制简写为<i,j>。

现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A能尽量先吃到质量高的菜肴：
也就是说，
(1)在满足所有限制的前提下，1 号菜肴”尽量“优先制作；
(2)在满足所有限制，1号菜肴”尽量“优先制作的前提下，2号菜肴”尽量“优先制作；
(3)在满足所有限制，1号和2号菜肴”尽量“优先的前提下，3号菜肴”尽量“优先制作；
(4)在满足所有限制，1 号和 2 号和 3 号菜肴”尽量“优先的前提下，4 号菜肴”尽量“优先制作；
(5)以此类推。
例1：共4 道菜肴，两条限制<3,1>、<4,1>，那么制作顺序是 3,4,1,2。
例2：共5道菜肴，两条限制<5,2>、 <4,3>，那么制作顺序是 1,5,2,4,3。

例1里，首先考虑 1，因为有限制<3,1>和<4,1>，所以只有制作完 3 和 4 后才能制作 1，而根据(3)，3 号又应”尽量“比 4 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 3,4,1；接下来考虑2，确定最终的制作顺序是 3,4,1,2。

例2里，首先制作 1是不违背限制的；接下来考虑 2 时有<5,2>的限制，所以接下来先制作 5 再制作 2；接下来考虑 3 时有<4,3>的限制，所以接下来先制作 4再制作 3，从而最终的顺序是 1,5,2,4,3。现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出”Impossible!“ （不含引号，首字母大写，其余字母小写）

输入描述

第一行是一个正整数D，表示数据组数。
接下来是D组数据。
对于每组数据：
第一行两个用空格分开的正整数N和M，分别表示菜肴数目和制作顺序限制的条目数。
接下来M行，每行两个正整数x,y，表示“x号菜肴必须先于y号菜肴制作的限制。（注意：M条限制中可能存在完全相同的限制）

输出描述

输出文件仅包含 D 行，每行 N 个整数，表示最优的菜肴制作顺序，或者”Impossible!”表示无解（不含引号）。

示例1
输入

3 5 4 5 4 5 3 4 2 3 2 3 3 1 2 2 3 3 1 5 2 5 2 4 3 12345678910111213

输出

1 5 3 4 2 Impossible! 1 5 2 4 3 123

备注：100%的数据满足N,M ≤ le ≤ 100000,D ≤ le ≤ 3。

题意解析

我们要制作N道菜，编号最小的在前面最好，每一条边<i,j>就是一个限制，表示我在做第j道菜前面，必须先做好第i道菜。如果能做完N道菜，那我们就输出做菜的顺序，如果不能就输出Impossible! 。边和节点的个数小于1e5，样例个数小于3个。

思路解析

用最短路的思路想了很久，感觉对不上。比较难处理的一个地方在于怎么来表示这个限制，比如边输入的是<i,j>，我是表示成一条从i到j的单向边还是从j到i的单向边。

如果我们是表示成从i到j的一条边，统计j的入度信息。那么我们可以把N的节点构造出很多颗树（不连通的图，有很多个）。因为题目是要把编号最小的尽早输出，那我们就需要用到一个优先队列。具体如下，每次把入度为0的点压入到队列当中，然后每次弹出当前队列中编号最小的节点，如果我们不能遍历N个点的话，说明不存在答案，那就输出Impossible!。但是这样的话，我们在第三个样例的时候会被卡住。
按照这种思路写出来的代码，第三个样例的答案为

1 4 3 5 2 1

那么我们可以考虑考虑表示成j到i的一条边，统计i的入度信息。每次弹出队列中最大值，其他做法不变，这样的话，我们就能得到答案的倒序，那么我们就倒序输出一下就好了。

这个题比较好，如果把第三个样例去了，应该是比较难的签到题。

解题代码

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<queue> #include<map> using namespace std; #define ll long long const int maxn=1e5+10; const int inf=0x3f3f3f3f; int head[maxn],tot,n,m,in[maxn],ans[maxn],sum; struct Node{int v,nex; }node[maxn*2]; void add(int u,int v){node[tot].v=v;node[tot].nex=head[u];head[u]=tot++; } void init(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;sum=0;memset(ans,0,sizeof(ans));memset(in,0,sizeof(in)); } void spfa(){priority_queue<int,vector<int>,less<int> > qu;for(int i=1;i<=n;i++){if(!in[i]){qu.push(i);}}while(!qu.empty()){int u=qu.top();qu.pop();ans[sum++]=u;for(int i=head[u];~i;i=node[i].nex){int v=node[i].v;in[v]--;if(!in[v]){qu.push(v);}}} } int main(){int i,j,t,x,y;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&m);init();for(i=0;i<m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);add(v,u);in[u]++;}spfa();if(sum!=n)printf("Impossible!n");else{for(i=sum-1;i>=0;i--){printf("%d%c",ans[i],i==0?'n':' ');}}}return 0; }

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465