如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．

• 花匠小妙招
• 2024-09-17 09:53

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．

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（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等边三角形．
（2）∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴＝，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF2=AB•BG=24，
可得BF=2（舍去负值）．

（1）根据三角形ABC是等边三角形，得到∠BCA=∠BAC=60°，再根据圆周角定理的推论得到∠BFE=∠BCA=60°．根据两条平行弦所夹的弧相等证明弧DE=弧CF，从而得到∠EBD=∠CBF，∠EBF=∠ABC=60°，从而证明结论；
（2）结合等边三角形的边相等，尽量能够把已知的线段和未知的线段放到两个相似三角形中，进行求解．

本题考点：等边三角形的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：熟练运用圆周角定理、两条平行弦所夹的弧相等的性质以及等边三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定．

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