(二) 试一试 如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度)，你有几种方法？(至少说出三种)(图形如P102的图) 解：过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。下面是其中的三种分法。——青夏教育精英家教网——
下面我们来看一个平行四边形变成正方形的全过程。(演示) 由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形。 这个变化过程，可用如下图表示(出示投影片§4.4.2A) 由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形。即：一组邻边相等的矩形是正方形。 这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时平行四边形也变成了正方形。 这个变化过程，也可用图表示(出示投影片§4.4.2B) 你能从这个变化过程中给正方形下定义吗？ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形。 很好，由此可知，正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形。 接下来我们讨论正方形的性质，它有哪些性质呢？同学没们讨论、总结。 因为正方形是平行四边形，菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质。即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 正方形的性质： 边：对边平行、四边相等 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 同学们总结得全面准确，正方形的性质同样可以边、角、对角线这三方面来总结(出示投影片§4.4.2C) (乙同学总结的性质) 大家想一想：正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即；两条对角线所在的直线，两组对边的中垂线。 好，下面我们来看一例题，以熟悉理解正方形的性质(出示投影片§4.4.2D) 分析：本题是正方形的性质的直接应用。正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性。 解：正方形ABCD是菱形，对角线AC、BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°。 正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此∠OAB=45°。 本题还有其他解法吗？ 因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AB=AD，OB=OD，所以△ABD是等腰直角三角形。又因为OB=OD，等腰三角形底边上的中线与底边上的高，顶角平分线重合，所以∠AOB=90°，∠OAB=45°。 因为正方形是轴对称图形，它的对角线所在的直线是它的对称轴，所以把正方形ABCD沿对角线AC对折，则△ABC与△ADC重合。∠BAC与∠DAC重合，因为∠BAD是直角，所以∠OAB=45°。把正方形ABCD沿对角线AC对折后，再沿对角线BD对折，则这时∠AOB、∠BOC、∠DOC、∠AOD重合，而这四个角的和为360°，所以这四个角都是90°，即∠AOB=90°。 由上述可知：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形。 下面我们拿出准备好的剪刀、白纸来做一做(出示投影片§4.4.2E) (学生动手折叠，想，剪切) 只要保证剪口线与折痕成45°角即可。因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕当作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形。 很好，同学们应用折叠、剪切，得到一个正方形，说明大家基本掌握了正方形的性质 正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢大家来议一议(出示投影片§4.4.2F) 正方形、矩形、菱形都是平行四边形，正方形既是矩形，又是菱形。 平行四边形有一个内角为直角时，这时的平行四边形是矩形，当平行四边形的相邻的边相等时，这时的平行四边形是菱形，矩形的一组邻边相等时，此时的矩形是正方形，菱形的一个内角为直角时，此时的菱形是正方形。 矩形的对角线互相垂直时，此时的矩形是正方形，菱形的两条对角线相等时，此时的菱形是正方形。 同学们总结得很好，正方形、矩形、菱形都是平行四边形，但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形。它们的包含关系如图：(出示投影片§4.4.2G) 乙同学，丙同学总结的这四者之间的关系可用下图表示(出示投影片§4.4.2H) 由这个图可以知道：什么样的平行四边形是正方形。 很好，此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？ 先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形。 由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时仔细辨别后才可以作出判断。 下面大家来做练习以巩固本节所学的内容。 课堂练习
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