首页 > 分享 > 植物园拟建一个多边形苗圃.苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案:方案①多边形为直角三角形AEB.如图1所示.其中AE+EB=30m,方案②多边形为等腰梯形AEFB.如图2所示.其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积.并从中确定使苗圃面积最大的方案．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

植物园拟建一个多边形苗圃.苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案:方案①多边形为直角三角形AEB.如图1所示.其中AE+EB=30m,方案②多边形为等腰梯形AEFB.如图2所示.其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积.并从中确定使苗圃面积最大的方案．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

花匠小妙招
2024-11-11 20:17

18．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；
方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

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分析设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．

解答解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，
方案①，设AE=x，则S1=$frac{1}{2}$x（30-x）≤$frac{1}{2}$[$frac{x+（30-x）}{2}$]2=$frac{225}{2}$，当且仅当x=15时，取等号，
方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，$frac{π}{2}$），
由S2′=100（2cos2θ+cosθ-1）=0得cosθ=$frac{1}{2}$（cosθ=-1舍去），
∵θ∈（0，$frac{π}{2}$），
∴θ=$frac{π}{3}$，
当S2′＞0，解得0＜x＜$frac{π}{3}$，函数单调递增，
当S2′＜0，解得$frac{π}{3}$＜x＜$frac{π}{2}$，函数单调递减，
∴当θ=$frac{π}{3}$时，（S2）max=75$sqrt{3}$，
∵$frac{225}{2}$＜75$sqrt{3}$，
∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=$frac{π}{3}$．

点评本题考查了基本不等式和导数的基本应用，关键是求导，属于中档题．

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