已知点P在正方体ABCD
问题标题：
已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上运动,设D1P/D1B=x,当∠APC为锐角时,求
问题描述：
已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上运动,设D1P/D1B=x,当∠APC为锐角时,求
吕晓凤回答：
以D为原点、DC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴、DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点B1位于第一卦限内. ∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出：B、D1的坐标依次是： B（1,1,0）、D1（0,0,1）.得：向量D1B＝（1,1,－1）. ∵D1P/D1B＝x,∴向量D1P＝x向量D1B＝（x,x,－x）. ∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴容易得出：A、C的坐标依次是： A（0,1,0）、（1,0,0）,又D1的坐标为（0,0,1）, 向量D1A＝（0,1,－1）、向量D1C＝（1,0,－1）、向量AC＝（1,－1,0）. 由向量D1P＝（x,x,－x）、向量D1A＝（0,1,－1）、向量D1C＝（1,0,－1）,得： 向量PA＝（－x,1－x,x－1）、向量PC＝（1－x,－x,x－1）, ∴向量PA·向量PC＝x^2－x＋x^2－x＋x^2－2x＋1＝3x^2－4x＋1, ｜向量PA｜＝√［x^2＋（1－x）^2＋（x－1）^2］＝√［x^2＋2（x－1）^2］, ｜向量PC｜＝√［（1－x）^2＋x^2＋（x－1）^2］＝√［x^2＋2（x－1）^2］, ∴｜向量PA｜｜向量PC｜＝x^2＋2（x－1）^2. ∵∠APC为锐角,∴cos∠APC>0, ∴cos∠APC＝向量PA·向量PC/（｜向量PA｜｜向量PC｜）>0, ∴（3x^2－4x＋1）/［x^2＋2（x－1）^2］>0, ∵x^2＋2（x－1）^2＞0,∴3x^2－4x＋1>0,∴（3x－1）（x－1）>0(因为在正方体内部,所以x>0) 即：满足条件的λ的取值范围是（0,1/3）∪（1,+无穷）解答完毕,请指教
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