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数学1.已知实数A，满足A平方

花匠小妙招
2024-12-03 19:45

1、A^2-A-1=0
A^2=A 1
A^4=(A 1)^2=A^2 2A 1=3A 2
A^8=(3A 2)^2=9A^2 12A 4=9A 9 12A 4=21A 13
A^(-4)=1/(3A 2)
所以，A^8 7A^(-4)=(21A 13) 7/(3A 2)
=[(21A 13)(3A 2) 7]/(3A 2)
=(63A^2 81A 34)/(3A 2)
=(144A 96)/(3A 2)
=48

2、10^A=20，10^B=1/5
两式相除，10^A/10^B=100
即10^(A-B)=100
A-B=2
所以，9^A/3^(2B)=9^A/9^B=9^(A-B)=9^2=81

3、A^2 2B^2 3AB=(A B)(A 2B)=(1999 1)(1999 2)=2000*2001=4002000

4、n-45是完全平方数设=a^2，n 44也是完全平方数设=b^2
b^2-a^2=(n 44)-(n-45)=89
(b-a)(b a)=89=1×89
所以，b-a=1，b a=89
b=45，a=44
n=44^2 45=1981

5、1999×2000×2001×2002 1
=1999×(1999 3)×(1999 1)(1999 2) 1
=(1999^2 1999×3)×(1999^2 1999×3 2) 1
=(1999^2 1999×3)^2 2×(1999^2 1999×3) 1
=(1999^2 1999×3 1)^2
是一个整数的平方，这个整数=1999^2 1999×3 1=4001999

6、设这两个整数分别为a，b，
K=a^2-b^2=(a b)(a-b)
由于a，b为整数，所以(a b)与(a-b)的奇偶性必须相同，即同为奇或同为偶。
且二者为一大一小，不会相等，根据以上分析，得
（1）所有的奇数除1之外，都符合要求，因为奇数总可以表示为其本身与1的乘积，同为奇，且一大一小，符合以上条件，在1至98中，奇数有98/2=49个，符合条件的有49-1=48个；
（2）对于偶数K，它必须能分解成两个偶数的乘积，才有可能表示成两个整数的平方差的形式。
即(a b)与(a-b)都是偶数，所以K必定是4的倍数，在1至98当中4的倍数有98/4=24余2，即有24个，但是4只能分解为2X2的形式，此时(a b)与(a-b）相等，不符合要求，所以符合要求的偶数个数有23个。

综上，能够表示成两个整数的平方差的个数是48 23=71个

7、56a 392b=56(a 7b)=n^2
56(a 7b)=2^3*7(a 7b)=2^2*[2*7*(a 7b)]
所以2*7*(a 7b)是完全平方数
而且当a 7b=14是最小
a，b是正整数
只有b=1，a=7一组解
所以a b最小=8。

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