正方形ABCD中，E、F为边的中点，∠FGE=45度，求GF的长是多少。

• 花匠小妙招
• 2024-12-17 17:44

#大有学问#

题目：
如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F为边的中点，点G在AE上，连接GF，∠FGE=45度，求GF的长是多少。

解法1：
如图，连接BF交AE于H，易证AE⊥BF，
则有：▲BEH∽▲BCF，
BH:BE=BC:BF ,
∴BH=BE*BC/BF =3*6/√45=6/√5，
HF=√45-6/√5=9√5/5,
GF=9√5/5*√2=9√10/5。

解法2：
连EF，▲CEF为等腰Rt▲，
EF=3√2，α+β= 135°，tanα =2，
tan(α+β) =-1，tanβ=3，
sinβ=3√10/10，
GF = EF·sinβ/sin45°=9√10/5

解法3：
典型的12345模型：
tan∠DAF＝tan∠BAE＝1/2，
tan(∠DAF＋∠BAE)＝4/3，
sin∠BAF＝cos(∠DAF＋∠BAE)＝3/5，
AF＝3√5，∠AGF＝135°，
GF/(3/5)＝3√5/sin135°，
GF＝9√10/5。

解法4：
如图，倍长中线，则由，
sinα=6/6√5=EF/9,
∴EF=9/√5，
∴FG=√2EF=9√10/5

解法5：
用正弦定理
连接AC,AF，EF。
由已知条件∠GEF的正弦值，
∠EGF的正弦值，EF的长易求。
由正弦定理得
GF/sin∠GEF=EF/sin∠45°。
得GF=9✔10/5

解法6：

解法7：

解法8：

解法9：

解法10：

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