首页 > 分享 > 若一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形.我们把这条对角线叫做这个四边形的“等腰线．(1)如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∠BAD=120°.∠C=75°.BD平分∠ABC.请找出图中的“等腰线 .并说明理由,(2)四边形ABCD中.AD=AB=BC.∠BAD=90°.AC是四边形ABCD的“等腰线 .求∠BCD的度数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

若一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形.我们把这条对角线叫做这个四边形的“等腰线．(1)如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∠BAD=120°.∠C=75°.BD平分∠ABC.请找出图中的“等腰线 .并说明理由,(2)四边形ABCD中.AD=AB=BC.∠BAD=90°.AC是四边形ABCD的“等腰线 .求∠BCD的度数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

花匠小妙招
2024-12-04 05:57

分析（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．

解答解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=12" role="presentation">12AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=12" role="presentation">12BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=12" role="presentation">12∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．